Модуль 4. Диференціальні числення функцій.

Границя функції в точці.

Число А називають границею функції у=¦(х) при х®а, якщо для будь якою e>0 знайдеться таке число d>0, що для всякого х¹а, який задовольняє умові |х-а|<d, виконується нерівність |¦(х)-А|<e. В цьому випадку пишуть ¦(x)=А

При обчисленні границь функцій необхідно знати такі теореми.

1) lim C=C, де C=const

^{x ®a}

2) lim C·¦(x)=C·lim¦(х)

^{x ®a x ®a}

3) lim (¦(x) ± q(x)) = lim ¦(x) ± lim q(x)

^{x ®a x ®a x ®a}

4) lim ¦(x)·q(x) = lim ¦(x)·lim (q)

^{x ®a x ®a x ®a}

5) , якщо

6) Крім того, будемо користуватися тим, що границя многочленна при х®а, дорівнює значенню многочленна в цій точці:

P(x) = P(a), де P(x) - многочлен

Функція ¦(х) називається нескінченно малою при х®а, якщо

¦(x) = 0.

Функція ¦(х) називається нескінченно великою при х®а, якщо

¦(x) = ¥.

Зв’язок між нескінченно великою та нескінченно малою функціями:

Якщо ¦(х) - нескінченно велика та обернена до неї функція є функцією нескінченно малою і навпаки.

Опираючись на ці властивості та властивості границь, можна виділити такі, часто зустрічаючи, границі, якими можна користуватися, як формулами:

1) ax = ¥;

2) = ¥;

3) = ¥;

4) = 0;

5) = 1 - перша важлива границя.

6) (1 + )^x =e, де e» 2,718 - друга важлива границя.

У найпростіших випадках знаходження границі ¦(x) зводиться до

Підстановки у функцію ¦(х) граничного значення аргументу a.

Приклад 1:

Приклад 2:

Але часто така підстановка приводить до невизначених виразів. Це такі вирази:

1) відношення двох нескінченно малих величин - невизначеність виду (). Щоб розкрити невизначеність (), задану відношенням двох многочленів, треба в чисельнику і знаменнику виділити спільний множник і скоротити на нього дріб.

Приклад 3:

Приклад 4:

Зробимо перетворення, розклавши чисельник і знаменник дробу на множники, як квадратні тричлени за формулою:

ax² + bx + c = a(x-x₁ )(x- x₂ ),

де х₁ і х₂ - корені квадратного тричлена, а потім скоротимо на х-5.

2х² -11х + 5 = 0. x₁ = 5; x₂ = , тому 2х² - 11х + 5 = 2 (х-5)(х- ).

3x² - 14x - 5 = 0. x₁ = 5; x₂ = - , тому 3х² - 11х - 5 = 3 (х-5)(х+ ).

Приклад 5: ;

Знищимо ірраціональність у чисельнику шляхом домноження чисельника і знаменника на вираз 1+ , потім скоротимо дріб на х.

.

2) Відношення двох нескінченно великих величин - невизначеність виду ().

Щоб розкрити невизначеність виду (), задану відношенням двох многочленів, треба чисельник і знаменник розділити на найвищий степінь х у цих многочленах.

Приклад 6:

Поділимо почленно чисельник і знаменник дробу на х².

Так як х® ¥ то - нескінченно мала і її границя дорівнює 0. Значить ®0, аналогічно ® 0, ® 0.

= = ; Тобто ;

Приклад 7:

Чисельник і знаменник поділимо на х³

При обчисленні границь тригонометричних функцій часто використовують першу важливу границю.

;

Необхідні формули з тригонометрії:

1) 1- сos x = 2 sin²

2)

Приклад 8: ;

Приклад 9: .

Друга важлива границя:

Приклад 10: ;

Приклад 11: .

Дата добавления: 2015-07-16