Блок 2. Основи математичного аналізу.

Модуль 4. Диференціальні числення функцій.

Функції їх графіки та властивості. Неявно та параметрично задані функції. Границя функції у точці, та на нескінченості. Перша і друга важливі границі. Неперервність функцій у точці. Точки розриву.

Похідна функції. Похідна функції яка задана неявно та параметрично.

Диференціал функції. Застосування диференціала до наближених обчислень.

Основні теореми диференціального числення: Ферма, Ролля, Коші, Лагранжа.

Монотонність та екстремум функції. Опуклість, вгнутість кривих, точки перегину. Асимптоти графіка функції. Частинні похідні.

Спочатку вивчить [1.1] § 2, 3, 4. гл. 4,§ 1-5, гл.5.

Потім дайте відповіді на питання і виконайте вправи для самоперевірки. З контрольної роботи виконайте завдання свого варіанту по даній темі.

Питання і вправи для самоперевірки.

1. Що значить функція задана неявно; параметрично.

2. Що називають границею функції у точці?

3. Сформулюйте теореми про границі.

4. Запишіть першу та другу „важливі” границі.

5. В якому випадку при обчислюванні границі має місце невизначеність?

6. Як усувається невизначеність типу , та ?

7. Обчислити:

a) lim ; б) lim

^{x®3 x®}

в) lim ; г) lim ;

^{x®0 x®0}

д) lim ; e) lim

^{x®0 x®}

8. Дайте визначення похідної функції.

9. Який геометричний смисл має похідна?

10. Дайте визначення другої похідної.

11. Який фізичний зміст має друга похідна?

12. Напишіть усі формули диференціювання.

13. Сформулюйте умови зростання та спадання функції.

14. Сформулюйте необхідну умову існування екстремуму функції.

15. Сформулюйте достатню умову існування екстремуму функції.

16. Як знайти точки екстремум функції?

17. Як знайти найбільше та найменше значення функції на відрізку?

18. Сформулюйте умову опуклості і вгнутості кривої.

19. Як знайти опуклість, вгнутість та точки перегину кривої?

20. Знайти похідну функцій:

а) y=(2-z²)⁴; б) y=ln sin x²; в) ; г) y=e^sinx · cosx.

21. Знайти другу похідну:

а) y= ; б) y=ln sinx; в) y=cos²x.

22. Скласти рівняння дотичної до кривої y=tg2x, у початку координат.

23. Тіло рухається прямолінійно за законом . Знайти швидкість руху у той момент часу, коли прискорення дорівнює нулю.

24. Знайти екстремум функції y=2x³-6x²-18x+7.

25. Знайти найбільше та найменше значення функції y=x³-3x²-9x+35 на відрізку х є [-4;4].

26. Число 16 розбити на два таких додатних множника, щоб сума їх квадратів була найменшою.

27. Кусок дроту довжиною 84 см необхідно зігнути у вигляді прямокутника так, щоб його площа була найбільшою.

28. Знайти опуклість, вгнутість та точки перегину кривої y=3x⁵-5x⁴+4.

29. Дайте означення диференціала функції.

30. За яким правилом знаходять диференціал функції.

31. Знайти диференціал функції:

a) y= ; б) y=ln sin³2x; в) y=e^cosx .

32. Обчислити наближене значення приріст функції y=(1+x-x²)³ при зміні аргументу від 3 до 2,998.

33. Знайти наближене значення: а) ; б) .

Дата добавления: 2015-07-16