Модуль 4. Диференціальні числення функцій.

91-120. Обчислити границю функції.

91. lim ; 101. lim ;

^{x®-1 x®-1}

92. lim ; 102. lim ;

^{x®3 x®6}

93. lim ; 103. lim ;

^{x®0 x®5}

94. lim ; 104. lim ;

^{x®0 x ®}

95. lim ; 105. lim ;

^{x®3 x®0}

96. lim ; 106. lim ;

^{x®3 x®5}

97. lim ; 107. lim ;

^{x® x®}

98. lim ; 108. lim ;

^{x® x®-4}

99. lim ; 109. lim ;

^{x®0 x®0}

100.lim ; 110. lim ;

^{x®2 x®}

111. lim

^x®7

112. lim ;

^x®

113 lim ;

^x®1

114. lim ;

^x®4

115. lim ;

^x®

116. lim ;

^x®5

117. lim ;

^{x ®}

118. lim ;

^{x ®}

^119.

120. lim .

^x®0

121-150. Знайти вказану похідну при заданому значенні аргументу:

121. ; y'(-1);

122. y=ln tg x; y' ; 137. ; y' ;

123. y=e^sin2x; y' ; 138. ; y'(2);

124. ; y'(2); 139. y=sin⁴x·cos4x; y'(0);

125. ; y'(0); 140. y=sin²x; y" ;

126. ; y' ; 141. ; y'(3);

127. y=x·ln x-x; y'(e³); 142. ; y'(4);

128. ; y'(0); 143. y=3ctgx+ctg³x; y' ;

129. y=tg²x-ctg²x; y' ; 144. ; y'(1);

130. ; y'(2); 145. ; y'(0);

131. ; y' ; 146. ; y'(2);

132. ; y'(0); 147. y=ln cosx; y' ;

133. ; y' ; 148. y=cosx+sin²x; y'(0);

134. ; y"(0); 149. ; y' ;

135. ; y"(2); 150. ; y' .

136. ; y"(3);

151. Побудуйте графік функції y=x³-3x-2.

152. Число 25 запишіть у вигляді добутку двох додатних чисел, сума яких найменша.

153. Тіло рухається прямолінійно за законом S=2+12t+2t²- t³. Знайти максимальну швидкість руху.

154. Скласти рівняння дотичної до графіка функції y=x³+2x²-4x-3 в точці з абсцисою x=-2.

155. Знайти найбільше та найменше значення функції y=x⁵-5x⁴+5x³+1 на відрізку

xÎ[-1; 2].

156. Побудувати графік функції y=x³-3x².

157. Число 50 представте у вигляді суми двох додатних чисел так, щоб добуток цих чисел був найбільшим.

158. Знайти проміжки зростання та спадання функції .

159. Дослідити функцію на екстремум і точки перегину .

160. Тіло рухається прямолінійно за законом S=-t³+6t²+24t-5. Знайти максимальну швидкість руху.

161. Написати рівняння дотичної до кривої y=x³+2x²-3x, в точці її перетину с віссю ОХ.

162. Знайти проміжки зростання і спадання функції .

163. Дослідити функцію на екстремум і точки перегину. Побудувати схематично її графік.

164. Знайти найбільше та найменше значення функції , х є [0; 5].

165. Тіло рухається прямолінійно за законом S=-t³+9t²-24t+1. Знайти максимальну швидкість руху.

166. Дослідити функцію y=x³+3x²+24x-8 на опуклість.

167. Дослідити функцію на екстремум і точки перегину. Побудувати схематично її графік.

168. Знайти проміжки зростання і спадання функції .

169. Дослідити функцію на вгнутість y=x³-9x²-24x+12.

170. Побудувати графік функції y=2x³-3x².

171. Обчислити значення диференціала функції , якщо x=3, Dx=0,02.

172. Обчислити наближене значення прирісту функції y=x³-x+5, якщо

аргумент змінився від 2 до 2,01.

173. Обчислити наближено приріст функції y=2x³-3x²+4 при зміні аргументу

від 3 до 3,001.

174. Знайти наближене значення .

175. Обчислити наближене значення функції y=x⁷-3x⁴+4x³-2, якщо x=1,002.

176. Знайти наближене значення .

177. Обчислити значення диференціала функції , якщо х=9, Dх=0,01.

178. Дослідити криву y=x³+3x²+4 на опуклість.

179. Дослідити криву на екстремум і точки перегину.

180. Дослідити криву y=x³-6x²+6x-2 на опуклість.

Модуль 5. Інтегральні числення функцій та диференціальні рівняння.

181-210. Знайти інтеграли:

181.

182.

183.

184. a)

185 a) ;

186 a)

187. a)

188. a) ;

189. a)

190. a)

191.a)

192. a)

193. a)

194. a)

195. a)

196 а) ; ;

197. a) ; ;

198. a) ; ;

199. a) ; ;

200. a) ; ;

201. a) ; ;

202. a) ; ;

203. a) ; ;

204. a) ; ;

205. a) ; ;

206. a) ; ;

207. a) ; ;

208. a) ; ;

209. a) ; ;

210. a) ; .

211-240. Обчислити визначені інтеграл:

211. a) ; ;

212. a) ; ;

213. a) ; ;

214. a) ; ;

215. a) ; ;

216. a) ; ;

217. a) ; ;

218 a) ; ;

219 a) ; ;

220 a) ; ;

221. a) ; ;

222. a) ; ;

223. a) ; ;

224. a) ; ;

225. a) ; ;

226. a) ; ;

227. a) ;

228. a) ; ;

229. a) ; ;

230. a) ; ;

231. a) ; ;

232. a) ; ;

233. a) ; ;

234. a) ; ;

235. a) ; ;

236. a) ; ;

237. a) ; ;

238. a) ; ;

239. a) ; ;

240. a) ; .

241-260. Зробити малюнок і обчислити площу фігури обмеженою даними лініями:

241. y= 8x -x² -7 і віссю ОХ.

242. y= x³- 1, y=0, x=0.

243. y= x²-3x-4, і віссю ОХ.

244. y²= 4x; x²=4y.

245. y= 5x-x²+6 і віссю ОХ.

246. y= x³, y=x²

247. y= x², y= x+2.

248. y= x²- 4x -5 і віссю ОХ.

249. y= 6x- 3x² і віссю ОХ.

250. y= x²+2, y= 2x+2.

251. y=sinx, y=0, ; x=p.

252. y=x², y=4x-3.

253. ; y=0; x=1; x=5.

254. y= -x²+9, y=0.

255. y=x²- 6x +9, y=3x-9.

256. y²= 9x; y=3x.

257. y=cosx, y=0, x=0, .

258. y= -x²+6x-5, y=0.

259. y=tg x, y=0, x=0, .

260. ; y=2x.

261-267. Зробити малюнок і обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі ОХ фігури, обмеженої даними лініями:

261. xy=1, x=2, x=3, y=0.

262. y=x², y=0, x=0, x=2.

263. y²-3x =0, x-3=0.

264. , y=0, x-3=0, x=0.

265. y²= x, y=0, x=1, x=2.

266. y= x²-1, y=0.

267. y²= 2x, y=0, x=2, x=4.

268-270. Зробити малюнок і обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі ОY фігури, обмеженої лініями:

268. y=x²+1, y=2, y=5.

269. ; y=2, y=0.

270. x² -2y=0, y - 2=0.

271-295. Розв’язати диференціальні рівняння і знайти частинні інтеграли, які

задовольняють даним умовам:

271. (x+1)³dy-(y-2)²dx=0, y=0 якщо x=0.

272. якщо x=1.

273. y dx +ctg x dy=0, y=-1, якщо .

274. y¢cos²x ln y=y, y=1, якщо х=p.

275. (1+x²)y³dx-(y²-1)x³dy=0, y=1, якщо х=1.

276. tgx sin²y dx+cos²x ctgy dy=0, , якщо х=0.

277. 3e^x tgy cos²y dx-(1+e^x)dy=0, , якщо х=0.

278. (xy²+x)dx +(x²y-y)dy=0, y=1, якщо х=1.

279. (xy²+y²)dx+(x²-x²y)dy=0, y=1, якщо х=1.

280. , y=0, якщо х=0.

281. (1+y²)dx=xydy, y=1, якщо x=2.

282. (1+y²)dx=xydy, y=1, якщо х=2.

283. (xy+x)dx-(x²y+y)dy=0, y=0, якщо х= .

284. y¢tgx-y=1, y= , якщо .

285. , y=1, якщо х=0.

286. (1+x²)dy-2x(y+3)dx=0, y=-1, якщо x=0.

287. , y=1, якщо х=0.

288. (1-x²)y¢+xy=0, y=4, якщо х=0.

289. , y=0, якщо х=0.

290. , y=0, якщо х=0.

291. xyy¢=1-x², y=1, якщо х=1.

292. , y=1, якщо .

293. x²dy-(2xy+3y)dx=0, y=e⁵, якщо х=-1.

294. (y+xy)dx+(x-xy)dy=0, y=1 якщо х=1.

295. e^x(1+e^y)dx+e^y(1+e^x)dy=0, y=0, якщо х=0

Теоретичні відомості до кожної теми.

Дата добавления: 2015-07-16