Диференціальні рівняння.

Диференціальним рівнянням називається рівняння, яке пов’язує незалежну зміну х, шукану функ цію у та її похідну .

.

Порядок диференціального рівняння визначає порядок найвищої похідної.

Розв’язати диференціальне рівняння це значить звільнитись у рівнянні від похідних, або диференціалів.

Функція y=j(x, c), яка залежить від аргументу х і довільної сталої с, називається загальним розв’язком рівняння.

Частинним розв’язком рівняння називається функція y=j(x, c) при певному значенні сталої с=с_о.

Задача, яка складається з находження частинного розв’язку диференціального. рівняння із загального, використовуючи початкові умови, називається задачею Коші.

Елементарним диференціальним рівнянням першого порядку є рівняння з відокремлюваними змінними.

Рівняння виду (1) - називається диференціальним рівнянням з відокремлюванними змінними.

Правило розв’язування диференціальних рівнянь з відокремлюванними змінними:

1) відокремлюємо змінні;

Для цього замінимо на , поділимо обидві частини рівняння (1) на q(y) і помножимо на dx, тоді рівняння (1) запишеться у вигляді:

(2).

2) проінтегруємо обидві частини рівняння (2), отримаємо загальний розв’язок;

3) маючи початкові умови розв’язуємо задачу Коші.

Приклад 1. Розв’язати рівняння x (y²+1) dx + y (x² - 1) dy = 0.

Розв’язання:

Поділимо всі члени рівняння на добуток (y² + 1)(x² - 1), одержимо:

, або

Інтегруємо обидві частини

маємо

Скоротивши на і пропотенціювавши останній вираз маємо - це загальний розв’язок даного рівняння.

Приклад 2. Знайти частинний розв’язок рівняння 2ydx=(1+x)dy, якщо y=4, коли x=1.

Розв’язання:

Відокремимо змінні, для цього обидві частини рівняння ділимо на y(1+x), маємо:

, інтегруємо

2ln(1+x) = lny+ lnc, звідки

(1+x)² = yc - це загальний розв’язок рівняння.

Але за умовою задачі x=1, y=4 підставимо ці значення у загальний розв’язок

2² = 4·с, звідки с=1

При цій умові із загального розв’язку маємо у=(1+х)² - це і є частинний розв’язок даного рівняння.

Дата добавления: 2015-07-16