Метод підстановки

Приклад 9.

Розв'язання.

Позначимо через z вираз (1-x²) z = 1-x², продиференціюємо його.

dz = (1-x²)'dx

dz = -2xdx, виразимо dx, dx = - .

Знайдемо нові межі інтегрування, замінивши в рівності z = 1-x² аргумент x на 0 та .

Z_n = 1 - 0 = 1 (нижня межа)

Z₆ = 1 - () (верхня межа нової змінної).

Переходимо до нової змінної

= 5 = - = - = - · = · = () = () = · =

Приклад 10.

Розв'язання.

Нехай cosx = t, тоді –sinx dx =dx. Визначимо межі інтегрування для змінної t; t_B= cos = 0; t₄= cos 0 = 1.

= = - = = = = .

Застосування визначеного інтегралу.

Визначений інтеграл широко застосовується при обчисленнях різних геометричних і фізичних величин.

1. Обчислення площ плоских фігур

Геометричний зміст визначеного інтеграла: чисельно визначений інтеграл дорівнює площі криволінійної трапеції.

Якщо криволінійна трапеція, обмежена кривою , віссю ох і прямими , і лежить під віссю ох (мал. 1.), площу знаходять за формулою.

мал. 1

Якщо фігура, обмежена кривою , віссю ох прямими , розміщена з обох боків від осі ох (мал. 2.), то

Мал.2

Якщо фігура обмежена двома прямими, що перетинаються, з яких і , і прямими і ,де і (мал. 3.). Тоді її площу знаходять за формулою.

У

Мал.3

Х

2. Обчислення роботи.

Робота, виконана змінною силою F(x) при переміщенні по осі ох матеріальної точки від до знаходиться за формулою:

При розв’язані задач на обчислення роботи сили при стискувані або розтягуванні пружини часто використовується закон Гука: , де F-сила, х-абсолютне видовження пружини в м, визвано силою F, к-коефіцієнт стиску чи розтягу в Н/м.

3. Обчислення шляху, пройденого матеріальною точкою.

Виходячи з фізичного змісту першої похідної, маємо . Так як інтегрування – дія, обернена до дії диференціювання, то:

4. Обчислення швидкості матеріальної точки.

Так як - прискорення, от аналогічно до попередньої задачі:

5. Обчислення об’ємів тіл за площами поперечних перерізів.

6. Обчислення об’е\ємів і площ поверхонь тіл обертання.

-навколо осі ОХ

-навколо осі ОУ

Приклади розв’язання задач.

Задача 1. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями:

Розв’язання

Для обчислення площі фігури перш за все треба накреслити цю фігуру.

Відповідь:

Задача 2. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями:

Розв’язання

Задача 3. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями:

Розв’язання:

Задача 4. Обчислити площу фігури, обмежену лініями:

Розв’язання:

х
-3

Х

Границі інтегрування a і b тут являються абсцисами точок перетину двох ліній:

та .Щоб знайти координати точок перетину двох ліній, треба скласти систему з рівнянь цих ліній. тобто, a = -3, b=6. Тоді

Відповідь: S=13 кв.одиниць.

Задача 5. Обчислити об’єм тіла утвореного обертанням навколо осі ОХ фігури обмеженої лініями .

Накреслимо графік.

Таке тіло називається параболоїдом обертання.

Відповідь: V=32 куб.од.

Дата добавления: 2015-07-16