Лінійні диференціальні рівняння першого порядку.

Лінійним диференціальним рівнянням першого порядку називається рівняння виду (3), де p i q - функції від x, або постійні величини.

Є кілька методів розв’язування рівняння (3). Один з них (метод Бернуллі) полягає в тому, що розв’зок цього рівняння шукають у вигляді добутку

y=u·v (4),

де u=u(x), v=v(x) - невідомі функції від х, причому одна з цих функцій довільна.

Знаходимо похідну рівності (4) (5) і підставляємо (4) і (5) в рівняння (3). Маємо:

Користуючись довільністю у виборі функції v(x), доберемо її так, щоб

тоді

Розв’яжемо ці рівняння, відокремлюючи в них змінні і інтегруючи, знайдемо функції u(x) і v(x), а потім і саму функцію y=uv.

Приклад 3. Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння:

Розв’язання:

Це лінійне рівняння. Нехай y=uv, . Маємо:

;

;

;

;

;

;

.

Підставляємо значення v у друге рівняння і розв’язуючи його знаходимо функцію u.

;

;

;

;

u=x+c.

Знаючи u і v знаходимо функцію y:

- загальний розв’язок даного рівняння.

Дата добавления: 2015-07-16