Пряма лінія на площині

1) Y

- рівняння рямої, яка

C(x; y) проходить через дві

B(x₂; y₂) точки;

A(x₁; y₁)

x

- рівняння прямої із

2) Y заданим напрямляючим

вектором;

C (x; y)

A (x₁; y₁)

a(m; n)

3) Y B(x; y) a (x-x₁)+b (y-y₁)=0 - рівняння

прямої із

заданим нормальним вектором;

n(a; b)

A(x₁; y₁)

X

4) y - y₁= k (x - x₁) - рівняння

прямої із

B(x; y) заданим кутовим коефіцієнтом (k=tg ), або пучка прямих.; A(x₁; y₁)

ö a

5) Y

l ₁|| l ₂ <=>k₁=k_{2 -} умова парале-

l₁ l₂ льності прямих;

ö a₁ ö a₂

_Х

6) Y

l₂ l₁ l₁ ^ l ₂ <=> k₁= -умова

перпен-

дикулярності прямих

х

7)

Y tg a = - кут між прямими;

l₁

ö a l₂

8) Точка перетину прямих знаходиться шляхом розв’язання системи рівнянь,яка складена з рівнянь даних прямих.

l₁

A(x; y)

l₂

9) ax + by + c= 0 - загальне рівняння прямої;

10) y = - y - Þ y = kx + b - рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом

k = - - кутовий коефіцієнт прямої.

Приклад. Дано (1; 1; 1), (2; 0; -1), (3; 4; 1). Знайти скалярний добуток векторів ; векторний добуток векторів ; мішаний добуток векторів .

Розв’язання:

= x₁x₂+ y₁y₂+ z₁z₂ ; = 12+10+1(-1)= 2+0-1 = 1.

;

(0+4) (2+3) + (8-0) =

4 - 5 + 8 .

;

= (0+4) - (2+3) + (8-0) =

4-5+8=7.

Приклад. Дано трикутник АВС, вершини якого А(1; 2), B(2; 3),

C(-1; -1). Скласти: 1) рівняння медіани АD; 2) рівняння висоти ВЕ.

Розв’язання:

Знайдемо координати точки D, як середини відрізка

x_D =

y_D =

D(; 1)

За рівнянням прямої, яка проходить через дві точки складемо рівняння

медіани AD.

= ;

= ;

= ;

x-1 = y - ;

x- y - = 0;

2x - y - 1 =0 - рiвняння медiани AD

2) Cкладемо рівняння сторони АС.

= ;

= ;

3x-3 = 2y-4;

3x -2y+1=0 – рівняння сторони АС

-2y= -3x -1

y= ;

k_AC = ; k_BE = - так як вони перпендикулярнi.

З рiвняння пучка прямих маємо рiвняння висоти ВЕ

(y-3) = - (x-2)

y-3+ x - =0

2x+3y-13=0 - рiвняння висоти ВЕ.

Модуль 3 .Комплексні числа

Число виду z= a+bi, де a i b дійсні числа, і- уявна одиниця, причому і² = -1,

називається комплексним числом.

Комплексне число можна записати у трьох формах:

1) z = a+bi - алгебраїчна форма запису;

2) z = r (cosj + іsinj) - тригонометрична форма;

r- модуль комплексного числа ; - аргумент

3) z = r·e ^ij - показникова форма.

Дії над комплексними числами у алгебраїчній формі:

Нехай: z₁ = a₁ + b₁i; z ₂ = a ₂ + b₂i

Умова рівності комплексних чисел:

1) z₁+z₂=(a₁+a₂)+(b₁+b₂)i – сума;

2) z₁+z₂= (a₁-a₂)+(b₁-b₂)i – різниця;

3) z₁·z₂=(a₁+b₁i)(a₂+b₂i) = a₁a₂+ a₁b₂i+ a₂b₁i+ b₁b₂i² = (a₁a₂- b₁b₂)+

(a₁b₂+a₂b₁)i, враховуючи, що і² = -1 – добуток;

4) - частка

Дії над комплексними числами у тригонометричній формі:

z₁=r₁(cosj₁+isinj₁); z₂=r₂ (cosj₂+isinj₂)

1)z₁z₂=r₁r₂(cos(j₁+j₂)+isin(j₁+j₂)) – добуток;

2) (cos(j₁-j₂)+isin(j₁-j₂)) – частка;

3) z₁ⁿ = r₁ⁿ(cosjn+isinjn) - піднесення до n-го степеня;

4)

де k=0, 1, 2,..., n-1, - добування корення n-го степеня.

Дії над комплексними числами у показниковій формі

,

1) z₁z₂=r₁r₂e^i(j₁^+j₂⁾ - добуток;

2) = e^i(j₁^-j₂⁾ - частка;

3) z₁ⁿ = r₁ⁿ e^ijn - піднесення до корення n-го степення;

4) де k=0, 1, 2,...n-1 - добування корення n-го степення.

Приклад 1: Дано: z₁=2-3i; z₂=1+4i

Знайти: 1) z₁+ z₂ ; 2) z₁ - z₂; 3) z₁ • z₂; 4) ; 5) .

Розв’язання:

1) z₁+ z₂ = (2+1)+(-3+4) i = 3 + i;

2)z₁- z₂ = (2-1)+(-3-4) i = 1-7i;

3) z₁z₂=(2-3i)(1+4i)=2+8i-3i-12i² = 12+5i;

4) = · = = = - .

5) = (2-3i)² = 4 - 12i + 9i² = -5-12i;

Приклад 2: Дано: z₁=2(cos30⁰ + isin30⁰)

z₂=3(cos60⁰ + isin60⁰)

Знайти: 1) z₁z₂ ; 2) ; 3) ; 4) .

Результат записати у алгебраїчній формі.

Розв’язання:

1) z₁·z₂ = 2·3(cos(30⁰+60⁰) + isin(30⁰+60⁰)) = 6·(cos90⁰+isin90⁰) =

6·(0+i·1) = 6i;

2) = ·(cos(30⁰-60⁰) + isin(30⁰-60⁰)) = ·(cos(-30⁰) + isin(-30⁰)) =

= ·(cos30⁰- isin30⁰) = ·( - i )= - i ;

3) =2³(cos30⁰·3+isin30⁰·3) = 8·(cos90⁰+isin90⁰) = 8·(0+i·1) = 8i;

4) = (cos + isin ), k=0, 1, 2, 3.

Приклад 3: З умови рівності двох комплексних чисел знайти дійсні числа

x i y, -2 + 5ix - 3iy = 9i + 2x - 4y

Розв’язання:

Виділимо з обох частин рівності дійсні та уявні частини комплексного числа. -2+(5х-3у)і=2х-4у+9і

Тепер, використовуючи умову рівності комплексних чисел, складемо систему.

розв’язав її, маємо: х=3, у=2.

Дата добавления: 2015-07-16