Зразки розв'язування вправ

Розв'язати систему рівнянь

а) методом Гаусса;

б) за формулами Крамера.

► а) Застосуємо метод Гаусса в матричній формі. Запи­шемо розширену

матрицю системи та зведемо її до трикутного вигляду за допомогою тотожних перетворень.

Поміняємо місцями перший і другий рядки системи рів­нянь, після чого перший рядок домножимо на (-3) і на (-4) та додамо відповідно до другого і третього рядків. Після цих перетворень дістанемо матриці рівносильних систем:

Домножимо другий рядок останньої матриці (тобто друге рівняння

відповідної системи) на (-1). До третього рядка до­дамо другий, помножений

на 5, після чого третій рядок поді­лимо на (-11). Маємо матриці відповідних

рівносильних сис­тем:

Остання матриця відповідає системі

яка рівносильна заданій системі.

Із третього рівняння системи маємо z = 4. Підставивши це значення в друге рівняння, дістанемо y = 4z-11=5, після чого з першого рівняння визначаємо x=-3. Отже, x=-3, y=5, z=4 - розв'язок заданої системи рівнянь.

б) Розв'яжемо задану систему за формулами Крамера. Об­числимо

визначник системи Δ та визначники Δ_x, Δ_y, Δ_z:

За формулами Крамера дістаємо єдиний (оскільки Δ ≠ 0) розв'язок

системи:

Розв ’ язати систему матричним способом

Розв’язання. Запишемо цю систему в матричному вигляді. AX=B, де

Далі обчислюємо елементи оберненої матриці

Обернена матриця матиме вигляд

Далі знаходимо розв’язок системи за формулою

Отже, маємо , а звідси x = 3, y = 2, z = 1.

Дата добавления: 2015-07-16