Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АрхитектураБиологияГеографияДругоеИностранные языки
ИнформатикаИсторияКультураЛитератураМатематика
МедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогика
ПолитикаПравоПрограммированиеПсихологияРелигия
СоциологияСпортСтроительствоФизикаФилософия
ФинансыХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника

Матриці

Вимоги до виконання та оформлення контрольної роботи. | Література. | Модуль 2. Векторна алгебра та аналітична геометрія. | Модуль 3. Комплексні числа. | Блок 2. Основи математичного аналізу. | Модуль 5. Інтегральні числення функцій та | ЗАВДАННЯ КОНТРОЛЬНОЇ РОБОТИ. | Модуль 2. Векторна алгебра та аналітична геометрія. | Модуль 3. Комплексні числа. | Модуль 4. Диференціальні числення функцій. |


Дії над матрицями.

Прямокутна таблиця чисел , i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n, складена з m рядків та n стовпців і записана у вигляді

називається матрицею (числовою матрицею розміром ).

Коротко матрицю позначають так: А = (), де – елементи матриці. Якщо m = n, то матриця називається квадратною.

Дві матриці А = () та В = () називаються рівними між собою, якщо вони мають однакові розміри (, ) і рівні відповідні елементи: = . Нульовою називається матриця, у якої всі елементи дорівнюють нулю. Позначають її буквою О. Квадратна матриця називається діагональною, якщо всі її елементи, крім тих, що лежать на головній діагоналі, дорівнюють нулю. Діагональна матриця, у якої кожний елемент головної діагоналі дорівнює одиниці, називається одиничною і позначається буквою Е.

Визначником квадратної матриці =() називається визначник, який складений з елементів матриці і позначається символомdet A. Таким чином,

.

Квадратна матриця А називається невиродженою, якщо її визначник не дорівнює нулю:

Сумою С = А + В двох матриць однакового розміру =() та = () називається матриця

Добутком матриці А = () на число k називається матриця

Різниця А – В матриць однакових розмірів визначається як сума матриці А і матриці В, помноженої на -1: А – В = А + (-1) В.

Матриця А називається узгодженою з матрицею В, якщо кількість стовпців першої матриці А дорівнює кількості рядків другої матриці В.

Якщо матриця А узгоджена з матрицею В, то добутком С = АВ матриці

=() на матрицю = () називається така - матриця, у якої елемент дорівнює сумі добутків елементів i -го рядка матриці А на

відповідні елементи j -го стовпця матриці В:

i =1, 2, …, m, j = 1, 2, …, k.

Обернена матриця. Матрицю А-1 називають обер­неною до квадратної матриці A, якщо добуток цих матрицьдорівнює одиничній матриці, тобто

А А-1-1А = Е.

Обернена матриця існує для всякої квадратної матриці А, яка є невиродженою, тобто коли визначник матриці | А |≠0.

 

Запишемо алгоритм відшукання оберненої матриці до квадратної матриці А:

 

1) обчислити визначник | А |матриці А. Якщо | А |≠0, то матриця А має обернену, в іншому випадку оберненої матриці не існує;

2)обчислити алгебраїчні доповнення Аij;

3)записати матрицю А ~ T, яка є транспонованою до матриці А ~ = (АIJ), складеної з алгебраїчних доповнень елементів за­даної матриці;

4)визначити обернену матрицю за формулою

 

 

A-1= 1 A~T

|A|

Приклад. Визначимо обернену матрицю А-1 для матриці

 

 

 

Оскільки визначник

то для матриці А існує обернена матриця А-1. Запишемоалгебраїчні

доповнення елементів матриці А:

 

 

 

 

 

 

 

Якщо основна матриця системи лінійних рівнянь є квадратною і

невиродженою, то систему можна розв'язати матричним способом (за допомогою оберненої матриці). Записавши систему в матричному вигляді,

дістанемо розв'язок X системи рівнянь:

АХ = В= (А-1А)Х = А-1В = ЕХ = А-1В = Х = А-1В.


Дата добавления: 2015-07-16; просмотров: 73 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Модуль 1. Лінійна алгебра.| Зразки розв'язування вправ

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.009 сек.)