Уравнение Пфаффа.

Наша задача:1)нахождение векторной линии2)нахождение векторного пространства. Не редко возникает и3)задача связанная с этим же векторным полем-нахождение семейства поверхностей ,которые ортогональны векторному полю. ,то уравнения искомых поверхностей, как условие ортогональности векторов:(F,dt)=0 P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+ +R(x,y,z)dz=0(1). (1)-условие ортогональности линий к векторному полю, оно наз. ур-ем Пфаффа.(1) определяет поверхности в трех мерном пространстве, которые в каждой точке ортогональны векторному полю F. Уравнение Пфаффа-необыкновенное урав-е. Любое обыкн-е диф. ур-е имеет бесконечно много частных решений. Некоторые ур-я Пфаффа имеют бесконечно много реш-ий, то задача 1), а попутно задача 2). 1 ситуация: урав. Пфаффа имеет реш-е: поле F является потенциальным. Опр1: Векторное поле наз.потенциальным, если существует скалярная функция ,градиент которой совпадает с полем F т.е. F=grad, Если ,то оно может быть найдено с помощью крив. интеграла: Значение этого крив. интеграла не зависит от выбора пути интегрирования. Рисунок.

Функция Uназ.потенциалом F- векторного поля. du=Pdx+Qdy+ +Rdz=0 В силу (1) U=C.Если F потенц., то компоненты связаны потенциалом этого поля (U) уравнения (2).Продиф. (2): rot F-диф.оператор прилож. к векторному полю.

-необходимое и достаточное условие. Рисунок.

Самый простой путь-ломанная т.к.пользуясь св-ом единственности крив. интеграла наш интеграл разбивается на сумму 3-х интегралов. 2 ситуация: Пусть F не явл. потенциальным, то иногда удается подобрать скалярную функцию М(x,y,z),после умножения на которую MF-потенциальное поле. Если такая сущ-ет, то интегрирующий множитель ур. Пфаффа. Выясним условие сущ-я интегрирующего множителя: пусть он сущ-ет, то MF-потенциальное т.е. или Применим к MF условие потенциальностиLне модуль из1) /*R из 2) /* P из 3) /*Q (4)-условие полной интегрируемости ур.Пфаффа необходимое и достаточное для сущ-ия поля поверхностей. -необходимо. Докажем достаточность. Опр: вихревой линией поля F наз. векторная линия поля rotF т.е. линия касательная к которой в каждой точке параллельно полю rotF в этой же точке. Опр. Вихревой поверхностью F наз. векторная поверхность поля rotF т.е. поверхность составленная из вихревых линий. Пусть (4) выполнено. Докажем, что в этом случае сущ. поверхности ортогональные F. В каждой точке поверхности определяемой (5) уравн. (1) Pdx+Qdy+ +Rdz должно обращаться в тождество или

рисунок.

S-произвольная вихревая поверхность поля F. C-замкнутый контур. Д-поверхность огран. контуром. dt-вектор бесконечно малой касательной в точке. n-вектор нормали к С.

Т. Стокса: справедлива для любого векторного поля. S-вихревая поверхность. rotF в каждой точке поверхности S ортогонелен, n. Т.об. для любой вихревой поверхности и замкнутого контура на ней крив. интеграл вида Выберем и из всех вихревых поверхностей F те которые ортогональны полю F. Для того, чтобы построить вихревую поверхность: 1) выбираем в пространстве произвольную проведем через А кривую ортогональную полю F. Одно из них уровнение Пфаффа. Pdx+Qdy+ +Rdz=0 вторую поверхность выбираем произвольно через А: Z=f(x,y) Z=f(x) Z=f(y) Z=a Pdx+Qdy+ +Rdz=0 Z=f(x,y) Подставим Z в предпоследнее уравнение получим M(x,y) dx+N(x,y)dy=0 (6) (7) – уравнение первого порядка в симметричной форме Z=f(x,y) рис.

l эта кривая ортогональна полю F по построению. Если l не является вихревой линией поля F, то проводя через каждую точку l вихревую линию поля F получим вихревую поверхность. если же l является вихревой поля F, то через нее можно провести бесконечно много вихревых поверхностей. Она не подходит. Выберем уравнение поверхности Z=f(x,y) и все аналогично, пока l не окажется вихревой. Докажем что S является искомой в каждой точке ортогонально полю F. Выберем L. Через Е1, Е2 проводим вихревую линию и они пересекутся с l в В1, В2 то, появлется замкнутый контур С. .ТоS обладает нужным свойством,то достаточность 4) доказана.

1) Уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к ним.. Опр. 1 Уравнением с разделяющимися переменными называется дифференциальное уравнение, которое может быть представлено в виде: y^/=f(x)g(y) или в виде f(x)g(y)dx+h(x)p(y)dy=0 (0). Для нахождения общего решения этого уравнения с разделяющимися переменными нужно разделить переменные, т. е. путем деления обеих частей уравнения на произведение g(y)h(x) добиться того, чтобы в преобразованном уравнении коэффициент при dx являлся бы функцией только от переменной x, а коэффициент при dy – функцией только от переменной y: . Опр. 2 Уравнение этого вида называется дифференциальным уравнением с разделенными переменными. Интегрируя, найдем общий интеграл . В общем случае (0) и (1) неэквивалентны, т.е. у них не одинаковы множества решений. Связано это с тем, что деление на g(y)h(x) может привести к потере некоторых частных решений (0), обращающихся в нуль произведение g(y)h(x). Поэтому в конкретном случае необходимо:1)необходимо находить все решения уравнения g(y)h(x)=0. Эти функции будем называть подозрительными; 2) из подозрительных функций необходимо по отдельности проверить, не явл-ся ли она решением (0). Та из них, которая явл-ся решением (0) наз-ся потерянным решением, т.к. эта функция явл-ся решением (0), но не явл-ся решением (1). После того как оба интеграла в (2) вычислены, получим конечное уравнение, связывающее х и у, в котором нет ни производных, ни дифференциалов. . Из этого уравнения можно выразить переменную, либо х, либо у ч/з другую, т.е. получить решение уравнения в явной форме, но это удается не всегда. В случае, если уравнение (2) невозможно решить относительно у или х, мы все равно считаем уравнение (1) решенным, но решение получено в неявной форме. Опр 3. Конечное уравнение вида наз-ся частным интегралом (1) или частным решением в неявной форме, если при подстановки некоторого (одного) частного решения (1) уравнение (3) обращается в истинное тождество. Опр. 4 Конечное уравнение вида с произвольной постоянной С наз-ся общим интегралом уравнения (1), если при подстановки частного решения (1) при каком-либо значении С уравнение (4) обращается в истинное тождество. Замеч-ие. Определения (3) и (4) справедливы для уравнения первого порядка. Уравнение, правая часть которого является функцией линейного аргумента: y^/=f(ax+by+c), где a и b – постоянные, сводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью замены исходной переменной z=ax+by+c. Вычисляя производную от новой искомой функции z^/=a+by^/ и используя исходное уравнение, получаем: z^/=a+bf(z), откуда . Интегрируя, получим общий интеграл: , в котором осталось сделать обратную замену переменной z=ax+by+c.

2) Однородные дифференциальные уравнения первого порядка и приводящиеся к ним. Однородным называется уравнение, которое может быть представлено в виде: y^/=f(y/x) или: M(x,y)dx+N(x,y)dy=0, где M(x,y) и N(x,y) – однородные функции одинаковой степени однородности. Функция F(x,y) называется однородной степени n, если для любого t>0 выполняется тождество: F(tx,ty)≡tⁿF(x,y). Однородное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью замены искомой переменной z=y/x или y=xz. Дифференцируя указанную замену по x, получаем y^/=xz^/+z для первой формы однородного уравнения и dy=xdz+zdx для второй. Подставляя найденную производную в исходное уравнение, получаем уравнение с разделяющимися переменными: xz^/+z=f(z), или . Интегрируя, получаем общий интеграл: , в котором осталось сделать обратную замену переменной z=y/x. Уравнение с правой частью в виде функции дробно-линейного аргумента , где a₁, b₁, c₁, a₂, b_2, c₂ – постоянные, преобразуется в однородное уравнение с помощью введения новых переменных u и v по формулам x=u+x₀, y=v+y₀ (1), где x₀ и y₀ – решение системы линейных алгебраических уравнений a₁x+b₁y+c₁=0, a₂x+b₂y+c₂=0. Так как , то, подставляя (1) в исходное уравнение, получаем , то есть получаем однородное уравнение вида . Описанный метод неприменим в случае параллельности прямых (2). Но в этом случае коэффициенты в уравнениях (2) пропорциональны a₂/a₁=b₂/b₁=k, и исходное уравнение можно записать в виде , и заменой переменной z=a₁x+b₁y свести к уравнению с разделяющимися переменными.

3) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод вариации постоянной. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравне- ние линейное относительно неизвестной функции и ее производной. Линейное уравнение имеет вид: y^/+p(x)y=f(x) (1). Если f(x)≡0, то уравнение (1) называется линейным однородным. Для интегрирования неоднородного линейного уравнения применяется метод вариации постоянной, который состоит в следующем. Сначала интегрируется соответствующее однородное линейное уравнение y^/+p(x)dx, в котором переменные разделяются: , откуда, интегрируя, получаем , где С – произвольная постоянная. Решение исходного уравнения ищем в виде (2), где С(х) – новая неизвестная функция переменной х. Вычислим производную dy/dx: . Подставим ее и (2) в исходное уравнение (1): , после приведения подобных получаем , откуда, интегрируя, находим функцию и после ее подстановки в (2) получаем общее решение исходного уравнения: , где первое слагаемое – решение однородного уравнения, а второе слагаемое – частное решение. Т.о. решение линейного уравнения = решение соответствующего однородного уравнения (общего) +некоторое частное решение неоднородного уравнения (1).

4) Уравнения Бернулли и Риккати. Уравнение вида y^/+p(x)y=f(x)yⁿ, n≠1 (1) наз-ся уравнением Бернулли. 2 способа решения данного уравнения:1) заменой переменной z=y^1-n сводится к линейному уравнению. Умножим обе части (1) на y^-n(1-n), получим (2). Сделав замену z=y^1-n и подставив в (2), получим - линейное уравнение. 2) методом вариации постоянной. Сначала интегрируем соответствующее однородное уравнение y^/+p(x)y=0, в котором переменные разделяются: , откуда, интегрируя, получаем , где С – произвольная постоянная. Решение исходного неоднородного уравнения Бернулли ищем в виде (3), где С(х) – новая неизвестная функция переменной х. Вычисляя производную dy/dx и подставляя ее и (3) в исходное уравнение, после приведения подобных получаем - уравнение с разделяющимися переменными относительно неизвестной функции С(х), интегрируя которое, находим С(х) и после подстановки в (3) получаем общее решение исходного уравнения. Уравнение, имеющее вид y^/+p(x)y+q(x)y²=f(x) наз-ся уравнением Риккати. Если известно одно частное решение u(x) этого уравнения, то оно заменой y=u+z, где z(x) – новая неизвестная функция, сводится к уравнению Бернулли. Действительно, подставляя указанную замену в исходное уравнение, получим u^/+z^/+p(x)(u+z)+q(x)(u+z)²=f(x) или, учитывая, что u^/+p(x)u+q(x)u²≡f(x), после приведения подобных будем иметь уравнение Бернулли: z^/+(p(x)+2q(x)u(x))z = -q(x)z².

5) Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель. Уравнение, записанное в симметричной форме M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 (1), называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции u(x,y) двух независимых переменных (она наз-ся потенциальной функцией уравнения (1)), то есть . du(x,y)=0, т.к. левая часть совпадает с правой частью (1). Предположим, что у = у(х) явл-ся решением (1). Тогда du(x,y(х))≡0 u(x,y)=С (2), где С – произвольная постоянная. Т.о. мы получили конечное уравнение (2), определяющее все частные решения (1), но в неявной форме или получили общий интеграл уравнения (1). Для того чтобы уравнение (1) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Эйлера: (3). Д-во.1)Необходимость. Предположим, что потенциальная функция уравнения (1) существует. Покажем, что в этом случае будет справедливо условие (3). . Т.к. в правых частях обеих последних формул дифференциалы dx, dy меняются независимо друг от друга, то совпадение правых частей возможно когда коэффициенты при них совпадают, т.е. . Продифференцировав первое равенство (4) по у, а второе по х, получим . Достаточность. Предположим, что справедливо условие (3). В этом случае гарантируется существование потенциальной функции. Для нахождения функции u(x,y) воспользуемся условием (4). Если потенциальная функция существует, то она должна удовлетворять (4) Интегрируя первое из равенств (4) по х (считая y постоянной), имеем (5), где φ(y) – произвольная функция от y. Дифференцируя полученное выражение по y и подставляя во второе из равенств (4), получаем . Последнее уравнение имеет смысл, а стало быть и решение правая часть от х не зависит, а правая часть в силу условия Эйлера не зависит от х. Поэтому, интегрируя его по y, находим , подставляя результат в (5), получим искомую функцию . Вычислим от правой части (6) частную производную по х: . Т.к. правая часть (6) от х не зависит, значит достаточность доказана. Существует второй способ построения потенциальной функции: . Теорема. Криволинейный интеграл (7) при выполнении (3) не зависти от выбора пути интегрирования. Самой простой кривой, вдоль которой можно вычислить интеграл явл-ся ломаная, соединяющая наши 2 точки со звеньями, параллельными осям координат. В некоторых случаях, когда уравнение (1) не является уравнением в полных дифференциалах, удается подобрать функцию после умножения на которую левая часть уравнения (1) превращает в полный дифференциал . Такая функция называется интегрирующим множителем. Из определения интегрирующего множителя следует и условия Эйлера, следует что он должен удовлетворять уравнению , или или (8). В общем случае задача интегрирования этого уравнения в частных производных не легче, чем задача интегрирования уравнения (1), однако в некоторых частных случаях это уравнение упрощается и интегрирующий множитель μ легко находится. 1. Уравнение (1) имеет интегрирующий множитель, зависящий только от х. В этом случае уравнение (8) принимает вид . В этом уравнении левая часть является функцией только от x. Значит и правая часть должна быть функцией только от х, в противном случае интегрирующего множителя вида μ=μ(х) не существует. 2. Уравнение (1) имеет интегрирующий множитель, зависящий только от y. В этом случае уравнение (8) принимает вид . В этом уравнении левая часть является функцией только от y. Значит и правая часть должна быть функцией только от y, в противном случае интегрирующего множителя вида μ=μ(y) не существует. 3. Уравнение (1) имеет интегрирующий множитель μ=μ(z(x,y)), где z(x,y) – известная функция. В этом случае уравнение (8) принимает вид . В этом уравнении левая часть является функцией только от z. Значит и правая часть должна быть функцией только от z, в противном случае интегрирующего множителя вида μ=μ(z) не существует.

***********************************************************************************

7) Дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной. Опр. 1 Дифференциальное уравнение первого порядка, не разрешенное относительно производной, имеет вид F(x, у, у')=0 (1). В некоторых случаях (1) можно разренить относительно производной.Если это возможно, то получается одно либо несколько уравнений, уже разрешенных относительно производной: у' = f_i(х, у), где I = 1,2,…,каждое из которых решается отдельно подходящим методом интегрирования уравнения, разрешенного относительно производной. Объединяя решение каждого из этих уравнений, мы получим общее решение данного уравнения. Уравнение (1) разрешается относительно производной крайне редко. Даже если (1) можно разрешить относительно производной, то в результате такого разрешения можно получить настолько сложное уравнение, которое не удастся проинтегрировать. Опр. 2. Частным решением (1) в параметрической форме наз-ся 2 функции х иу, зависящие от t: , которые при подстановки в (1) обращают его в истинное тождество. При подстановке в (1) мы должны подставлять не только х у, но и у', т.е. . Опр. 3 Общим решением (1) в параметрической форме наз-ся совокупность всех его частных решений без исключения. Опр. 4 Если левая часть уравнения (1) не содержит независимой переменной х или искомой функции у, или того и другого вместе, то оно называется неполным. Рассмотрим некоторые из частных случаев. 1. Простейшим из неполных уравнений является уравнение, содержащее только производную: F(y') = 0. Общий интеграл такого уравнения находится следующим образом. Предположим, что это уравнение имеет некоторое (конечное или бесконечное) число вещественных корней y'=k_i, (i = l, 2,...) (2), где k_i - некоторые постоянные, так что имеют место тождества: F(k_i)=0, (i=1,2,…) (3). Интегрируя уравнения (2), находим у = k_ix+С, откуда . После подстановки этого значения k_i в тождество (3) приходим к одному соотношению . Это соотношение и есть общий интеграл исходного уравнения. 2. Уравнение вида F(x, у')=0, не разрешенное относительно производной и не содержащее искомой функции, интегрируется методом введения параметра t и заменой исходного уравнения двумя уравнениями: x=φ(t), y^/=ψ(t). Для того, чтобы найти у через параметр t, воспользуемся основным тождеством диф. исчисления, который устанавливает связь м/у дифференциалом функции и ее производной. dy = y'dx, то в данном случае , откуда и, следовательно, общее решение исходного уравнения в параметрической форме определяется следующими уравнениями: , . 2а). Если исходное уравнение легко разрешимо относительно х: то удобно в качестве параметра ввести у' = t. Тогда , , . 3. Уравнение вида F(y,y')=0, не разрешенное относительно производной и не содержащее независи­мой переменной, также интегрируется методом введения параметра t и заменой исходного уравнения двумя уравнениями: , . Так как dy = y'dx, то в данном случае , откуда и, следовательно, общее решение исходного уравнения в параметриче­ской форме определяется следующими уравнениями: , . 3а). Если исходное уравнение легко разрешимо относительно у: , то удобно в качестве параметра ввести y'=t. Тогда , , . 4. Если уравнение f(z, у, у')=0 разрешимо относительно искомой функции, то есть приводится к виду y=f(x,у'), то, считая х и р = у' параметрами, получаем следующее пapaметрическое представление исходного уравнения: y=f(x,p), y^/=p. Для нахождения общего решения уравнения y=f(x,у') мы воспользуемся методом интегрирования с помощью дифференцирования. Продифференцируем обе части по х: то, учитывая, что у' = р, получаем уравнение, разрешенное относительно производной : . Интегрируя полученное уравнение (если оно интегрируется в квадратурах), получим Ф(х, р, С)=0. Совокупность уравнений Ф(х, р, С)=0, y=f(x,p) является общим решением исходного уравнения в параметрической форме. 5. Если уравнение F(x, у, у')=0 разрешимо относительно независимой переменной: x=f(y,y^/), то, считая у и р=у' параметрами, получаем следующее параметр кое представление исходного уравнения: x=f(y,p), y'=р. Воспользуемся методом интегрирования с помощью дифференцирования. Продифференцируем обе части по у: , и, учитывая, что у'=р, получаем уравнение, разрешимое относительно производной : . Интегрируя полученное уравнение (если оно интегрируется квадратурах), получим Ф{у, р, С)=0. Совокупность уравнений Ф(y,p,С)=0, x=f(y, р) является общим решением исходного уравнения в параметрической форме.

8) Уравнения Лагранжа и Клеро. Опр. 1 Уравнением Лагранжа называется линейное относительно х, у уравнение . Для интегрирования этого уравнения вводим параметр р = у'. Тогда (1). Дифференцируя по переменной х и полагая у'=р, получим , или . Это линейное относительно х и уравнение легко интегрируется, например, методом вариации постоянной. Найдя его общее решение х=χ(р,С) и присоединяя к нему соотношение (1), получаем общее решение ис­ходного уравнения в параметрической форме: х=χ(р,С) (2), . В процессе решения при делении на могут быть потеряны решения , при этом от (1) останется p=φ(p). Если оно имеет действительные корни р = р_i (i=l,2,…), то к ранее найденным решениям (2) и (3) можно добавить потерянное решение у = хφ(p_i)+ψ(p_i). Рассмотрим ситуацию, когда . Опр. 2 Уравнением Клеро называется частный случай уравнения Лагранжа: у = ху'+ψ(у^/). Для интегрирования этого уравнения вводим параметр р = у'. Тогда y = xp+ψ(p) (4). Воспользуемся метод интегрирования с помощью дифференцирования. Дифференцируя по переменной х и полагая у'=р, получим , или . Откуда или . В первом случае р=С и, исключая р из (4), получим: y=Cx+ψ(C) (5) - однопараметрическое семейство интегральных прямых. Во втором случае решение определяется двумя уравнениями x=-ψ^/(p), y=-pψ^/(p)+ψ(p) (6) в параметрической форме. Последние 2 уравнения явл-ся частным решением. Интегральная кривая, определяемая уравнениями (6) является огибающей семейства интегральных прямых (5). Опр. 3 Огибающей семейства кривых на плоскости, заданных уравнением Ф(х, у, С)=0 (7) наз-ся кривая, имеющая в каждой своей точке общую касательную с одной из кривых семейства. Уравнение определяет огибающую семейства (7), а уравнение определяет огибающую к (5).

9) Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка, не разрешенного относительно производной. Особые решения. Рассмотрим диф. уравнение F(x, y, y') =0 (1); y(x₀) = y₀ (2) – начальное условие. Для уравнения (1) встает вопрос о единственности решения этого уравнения, удовлетворяющему условию (2). Понятие единственности решения этого уравнения понимается не так как для решения, разрешенного относительно производной (уравнения y' = f(x, y)). Уравнение (1) в принципе можно разрешить относительно y'. , i = 1, 2,… Если каждое из уравнений вида (3) удовлетворяет условию (2), то ч/з каждую точку (x_0, y₀) будет проходить только одна интегральная кривая уравнения (3). Под единственностью решения уравнения (1) мы будем понимать, что ч/з заданную точку (x_0, y₀) проходит одна интегральная кривая в заданном направлении. Теорема. Если в уравнении F(x, y, y') = 0 в некоторой замкнутой окрестности точки (x₀, y₀, y₀'), где y₀' – один из действительных корней уравнения F(x_0, y₀, y₀') = 0, функция F удовлетворяет условиям:1) F(x, y, y') непрерывна по всем аргументам; 2) ; 3) , то на отрезке x₀-h≤x≤ x₀+h, где h достаточно мало, единственное решение y=y(x) уравнения (1) удовлетворяющее начальному условию (2), для которого y'(x₀) = y₀'. Д-во. Из курса анализа по теореме о неявной функции выполнение первых двух условий нашей теоремы гарантирует существование единственной неявной функции y' = f(x, y)) (4); y'(x₀) = f(x₀, y₀), при этом функция f(x) будет непрерывна. При выполнении всех трех условий нашей теоремы у функции f(x) будет огранич. частн. производная по переменной у. Для того, чтобы а этом убедиться, воспользуемся теоремой о дифференцировании неявной функции, в которой при выполнении условий 1), 2), 3) гарантируется частной производной от нашей новой функции и она может быть найдена по правилу дифференцирования неявной функции. F(x, y, y') = 0. Продифференцируем обе части по у: . Т.о. второе условие теоремы о и единственности решения диф. уравнения, разрешенного относительно производной для уравнения (4) выполнено единственное решение (4), удовлетворяющее начальному условию (1) единственное решение (1). Особые решения. Опр.1 Точки на плоскости хОу, в которых нарушается свойство единственности уравнения (1) называются особым множеством уравнения (1).В точках этого множества должно нарушаться хотя бы одно из условий теоремы. В уравнениях, которые встречаются на практике условия 1), 3) нашей теоремы обычно выполняются, условие 2), где часто нарушается, Если 2) и 3) выполнены, то в точках особого множества должно выполняться: F(x, y, y') =0 и . Если из них исключить y', то мы получим , которому ложны удовлетворять точки особого множества. Опр. 2 Кривая на плоскости хОу, определяемая уравнением (5) наз-ся дискреминантной кривой уравнения (1). Не все точки дискр. кривой будут принадлежать особому множеству уравнения (1), т.к. условия нашей теоремы явл-ся достаточными для единст-ти, но не явл-ся необходимыми, т.е. нарушение какого-либо из условий теоремы не обязательно влечет нарушение единственности решения. Опр. 3 Если какая-либо ветвь дискр. кривой (5) явл-ся интегральной кривой уравнения (1) или графиком одного из частных решений и при этом принадлежит особому множеству ур-я (1), то эта интегр. Кривая наз-ся особой интегральной кривой уравнения (1), а функция наз-ся особым решением уравнения (1). Т.о. для того, чтобы найти особое решение уравнения (1), необходимо:1)найти дискримин. кривую уравнения (1); 2)для каждой из ветвей дискримин. кривой проверить, является ли она интегр. кривой уравнения (1); 3)проверить нарушается ли в точках этой интегр. кривой единственность решения ур-я (1).

26) Однородные системы линейных дифференциальных уравнений. Основные свойства решений. Опр. 1 Система дифференциальных уравнений называется линейной, если она линейна относительно искомых функций х_i(t) и их производных. Линейная система n-го порядка, имеет вид , где а_ij(t) (i, j=1,2,…,n) в количестве n² штук наз-ся коэффициентами системы (1), f_i(t) (n штук) наз-ся правыми частями системы (1). Пусть , , , . Тогда в краткой векторной форме система (1) может быть записана в следующем виде . Если все коэффициенты а_ij(t), правые части f_i(t) системы (1) явл-ся непрерывными на отрезке , то система (1) на этом же отрезке удовлетворяет условиям теоремы о сущ-нии и един-ти решения. Дейст-но полные правые части системы (1) будут непрерывны по всем своим аргументам, т.к. они явл-ся линейными комбинациями. Существуют ограниченные частные производные от правых частей . Эти функции непрерывны, по т.Вейштрасса ограничены. Опр. 2 Если в системе уравнений (1) все правые части f_i(t)≡0 (i, j=1,2,…,n) или F(t)=0, то система (1) наз-ся линейной однородной. Линейная однородная система n-го порядка имеет вид или . Основные свойства частных решений: 1)Если Х(t) явл-ся решением лин. однородной системы (2), то СХ(t), C=const также явл-ся решением (2). Д-во. ; 2)Если 2 векторные функции Х₁(t), Х₂(t) явл-ся решением одной и той же системы (2), то Х₁(t)+Х₂(t) тоже явл-ся решением (2). Д-во. ; 3) Если Х₁(t), Х₂(t),…,Х_m(t) явл-ся решением одной и той же системы (2), то линейная комбинация от этих функций с const явл-ся решением одной и той же cистемы.4)Если лин. однородная система (2) с действительными коэффициентами а_ij(t) имеет комплекснозначное частное решение X(t)=U(t)+iV(t), то вещественные и мнимые части этого решения по отдельности также явл-ся решением (2), Д-во. ; При подстановки должны получить тождество: . Две комплекснозначные функции тождественно совпадают у них совпадают тождественно вещественные и мнимые части .

27) Определитель Вронского линейной однородной системы уравнений и его основные свойства. Опр. 1 Х₁(t), Х₂(t),…,Х_n(t) наз-ся линейно зависимыми на отрезке , если и для выполняется . Опр. 2 Х₁(t), Х₂(t),…,Х_n(t) наз-ся линейно независимыми на отрезке , если для них тождество (1) выполняется, когда . Опр. 3 Х₁(t), Х₂(t),…,Х_n(t) функциональный определитель , где называется определителем Вронского. Свойства: 1)Если Х₁(t), Х₂(t),…,Х_n(t) являются линейно зависимыми на , то W(t)≡0 для . Д-во. По определению линейной независимости . Это векторное тождество эквивалентно скалярным тождествам . Относительно постоянных а_i система (2) явл-ся линейной однородной алгебраической системой ур-ний, определитель которой совпадает с определителем Вронского (W(t)). Система (2) имеет нетривиальное решение при t. Лин. однор. Система урав-ний имеет нетривиальное решение определитель = 0 W(t)≡0 . 2) Если Х₁(t), Х₂(t),…,Х_n(t) явл-ся линейно независимыми на частными решениями одной и той же линейной однородной системы с непрерывными коэффициентами на а_ij(t), то W(t)≠0 . Д-во. (от противного) : W(t₀)=0. Составим вспомогательную систему уравнений . Система (4) явл-ся линейной однородной алгебраической системой ур-ний; W(t₀)=0. Система (4) имеет ненулевое решение(по теореме) возьмем из этих ненулевых решений . . По свойству 3) частных решений линейной однородной системы Х(t) явл-ся решением системы (3). В силу (4) наше решение X(t₀)=0. С другой стороны, очевидно, что (3) имеет тривиальное решение ; . При сформулированных условиях (3) удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности решения одно решение, удовлетворяющее начальному условию нулевому, т.е. противоречит независимости. В свойстве 2) дополнительное условие нашей функции явл-ся частным решением одной и той же лин. однор. системы (3) с непрерывными коэффициентами, Избавиться от дополнительного условия нельзя.

31) Неоднородные системы линейных дифференциальных уравнений. Общее решение. Принцип суперпозиции. Опр. 1 Система дифференциальных уравнений называется линейной, если она линейна относительно искомых функций х_i(t) и их производных. Линейная система n-го порядка, имеет вид , где а_ij(t) (i, j=1,2,…,n) в количестве n² штук наз-ся коэффициентами системы (1), f_i(t) (n штук) наз-ся правыми частями системы (1). Пусть , , , . Тогда в краткой векторной форме система (1) может быть записана в следующем виде . Соответствующая линейная однородная система n-го порядка имеет вид или . Свойства линейной неоднородной системы: 1)Если явл-ся решением лин. неоднородной системы, Х₀(t) явл-ся решением лин. однородной системы, то явл-ся решением лин. неоднородной системы. Д-во. . 2)Принцип суперпозиции. Решением системы линейных уравнений , является сумма , решений систем уравнений . Д-во. . Теорема (об общем решении линейной неоднородной системы уравнении). Общее решение линейной неоднородной системы (1) n-го порядка с непрерывными на отрезке [а,b] коэффициентами а _{i j} (t) (i, j=1,2,…,n) и правыми частями f_i(t) равно сумме общего решения соответствующей однородной системы и какого-либо частного решения рассматриваемой неоднородной системы. Д-во. - общее решение системы (1). Надо доказать: (3) – решение (1). То, что (3) явл-ся решением (1) следует из первого свойства частных решений. Нам нужно доказать более сильное утверждение: (3) – общее решение (1), т.е. оно содержит в себе все частные решения (1) без исключения. Т.к. в сформулированных условиях система 1) удовлетворяет условиям теоремы сущест. и единств. реш-я, то нам достаточно показать, что постоянные с_i в решении (3) всегда можно подобрать таким образом, чтобы (3)удовлетворяло Х(t₀) = Х₀ (4), где . Для того, чтобы убедиться, подставим в (3) начальные условия (4): . Система ур-ний (5) относительно с_i явл-ся линейной неоднородной системой ур-ний, определитель которой = определителю Вронского - W(t₀). По второму свойству определителя Вронского W(t₀)≠0, т.к. функции линейно независ. частные решения (2) по теореме Кронекера-Копелли система (5) имеет имеет решение при правых частях и при .

32) Неоднородные системы линейных дифференциальных уравнений. Метод вариации постоянных. Опр. 1 Система дифференциальных уравнений называется линейной, если она линейна относительно искомых функций х_i(t) и их производных. Линейная система n-го порядка, имеет вид , где а_ij(t) (i, j=1,2,…,n) в количестве n² штук наз-ся коэффициентами системы (1), f_i(t) (n штук) наз-ся правыми частями системы (1). Пусть , , , . Тогда в краткой векторной форме система (1) может быть записана в следующем виде . Соответствующая линейная однородная система n-го порядка имеет вид или .Построение общего решения линейной неоднородной системы уравнений осуществляется в 2 этапа: 1)находится общее решение соответствующей линейной однородной системы(2); 2)подбирается какое-нибудь одно решение системы (1). Метод подбирания частного решения: предположим, что обще решение найдено, а подобрать частное е можем. Тогда общее решение (1) может быть получено методом вариации постоянных: пусть известны - общее решение (2); X(t) – общее решение (1) будем искать в форме . Для того, чтобы найти С_i(t), подставляем (3) в (1): , F_i – частное решение (2) ; . Относительно (4) – линейная неоднородная алгебраическая система, определитель которой = ≠0 – ФСР соответствующей (2) (4) по теореме Кронекера-Копелли имеет единственное решение при правых частях (второй индекс указывает на номер решения, первый – номер неизвестной функции) подставляем в (3) и находим искомое решение. Метод вариации постоянных является универсальным.

33) Неоднородные системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Метод неопределенных коэффициентов. Опр. 1 Система дифференциальных уравнений называется линейной, если она линейна относительно искомых функций х_i(t) и их производных. Линейная система n-го порядка, имеет вид , где а_ij(t) (i, j=1,2,…,n) в количестве n² штук наз-ся коэффициентами системы (1), f_i(t) (n штук) наз-ся правыми частями системы (1). Пусть , , , . Тогда в краткой векторной форме система (1) может быть записана в следующем виде . Соответствующая линейная однородная система n-го порядка имеет вид или . Частное решение системы (1) может быть найдено методом неопределенных коэффициентов:1)позволяет находить частные решения (1); 2)не является универсальным. Условия принимаемости:1)все коэффициенты – const; 2)все правые части – правые части специального вида, к ним относятся произведения показательных функций на многочлен, произведения показательных функций на сумму, произведения sin, cos на многочлен, суммы функций этих двух видов. Применим алгоритм сведения системы уравнений к одному уравнению высокого порядка уравнений для линейной неоднородной системы с постоянными коэффициентами и специальными правыми частями:1)произведем почленное дифференцирование обеих частей; 2)из правой части полученного уравнения исключаем правые от искомой функции; 3)Эта система уравнений решалась относительно исключенной функции. Эта система уравнений линейна.; 4)

После применения этого алгоритма получим уравнение с одной искомой функцией (линейное с коэффициентами – константами и с правой частью специального вида). Метод неопределенных коэффициентов для (1):1) , где многочлен - степени m_i, где р – постоянная, называемая контрольным числом правых частей (единое для всех), тогда частное решение (1) нужно искать в форме , где - мн-н степени m+r с неопределенными коэффициентами, . Число r=0, если р не явл-ся корнем характеристического уравнения, если же p явл-ся корнем характеристического уравнения, то r = кратности этого корня. Чтобы найти коэффициенты многочленов , надо решение (4) подставить в исходную систему (1) и приравнять коэффициенты при подобных членах в левых и правых частях уравнений, в результате чего получим систему линейных алгебраических уравнений относительно искомых коэффициентов.2) Если каждая из правых частей неоднородной системы (1) представима в виде ,

где - многочлены, то неоднородная система имеет частное решение вида , где - многочлены с неопределенными коэффициентами степени m+r, m = наибольшей из степеней многочленов . Число r=0, если контрольное число р+iq не явл-ся корнем характеристического уравнения; если р+iq является корнем характеристического уравнения, то г = кратности этого корня. Чтобы найти коэффициенты многочленов , надо решение (6) подставить в исходную систему и приравнять коэффициенты при подобных членах в левых и правых частях уравнений получим систему линейных алгебраических уравнений относительно искомых коэффициентов.

Если из правы части (1) равны суммам нескольких функций вида (3) и (5) или разнотипным функциям вида (3) и (5), то частное решение (1) находится при помощи принципа суперпозиции: частное решение (1) с правыми частями равно сумме частных решений соответствующих систем с правыми частями, равными каждому из наборов функций .

Дата добавления: 2015-07-19