Исследование на устойчивость по первому приближению.

1)Будем предполагать, что частное решение сис-мы (1) .

2)Будем считать, что прав.часть (1) диф. в некоторой окрестности нач. координат. Если это не так, то правую часть сис-мы (1) можно разложить по Тейлору и представить в виде: где -линейнейное слагаемое, -ост.член. вокрестности начала координат явл. бесконечно малыми фун-ями порядка выше 1 относительно -функции. Является ли тривиальное решение сис-мы (1) устойчивым или нет? Чаще всего применяют след. способ:1)пользуясь тем что малы их выбрасываем и заменяем (1): (2)- лин. однор. сис-ма с переем. коэффициенами. Решения (2) .Задачу исследования на устойчивость сис.(1) заменяют на задачу исследования тривиального решения (2)- это исследование на устойчивость по первому приближению. Опр1: система (2) наз. системой уравнений первого приближения по отношению к системе (1). Опр2: если все коэфф-ы из (1) и (2) постоянны, то система (1) наз-ся стационарной в первом приближении. Опр3: замена задачи исследования на устойчивость тривиального решений системы (1) на задачу системы (2) наз. исследованием на устойчивость по первому приближению. В первые такое обоснование этого приема дал Ляпунов.

Т1:Если сис-ма уравнений (1) стационарна в первом приближении, а остаточные член функции удовлетворяют: ,где и все корни характеристического уравнения:

имеют отриц. действительные части, то трив. решения ,как сис-мы (1), так сис-мы (2) являются асимптотически устойчивыми и возможно исследование на устойчивость по 1 приближению. Т2:Если система (1) стационарна в первом приближении, а остаточные члены функции удовлетворяют условиям предыдущей теоремы и кроме того хотя бы один из корней (3) имеет положительную действительную часть, то тривиальное решение как системы (1), так системы (2) не устойчиво, возможно исследование по первому приближению. Условия теорем охватывают не все случаи возможные для корней уравнения (3). Под условием теорем не попадает критический случай: все корни (3) имеют не положительную действительную часть и хотя бы один из корней имеет нулевую действительную часть. В этом случае на устойчивость системы (1) влияют остаточные члены , то исследование на устойчивость по первому приближению невозможно. Но в общем случае доказательства теоремы явл-ся сложным и громоздким. Мы ограничимся док-ом первой теоремы в частном случае.

Докажем т-му при дополнительном условии: все корни ур (3) явл. действительными и различными. ,R-вектор столбец , Х-вектор столбец , А-матрица из .

Сделаем невырожденное линейное преобразование фун Х: Х=ВУ(4), У-постоянная матрица.

.подставим (4) в (2):

Матрицу В можно подобрать так, чтобы она была диагональной. В сосоит из собственных векторов матрицы А.Сис-ма (2) преобретает след. вид: .Решение как у (5),так у (6) асимптотически устойчиво, то отсюда следовать асимптотическая устойчивость сис-мы (1) и (2).(5)-распавшаяся сис-ма. Решение(5): -монотонно убывает т.к. -тривиальное решение сис-мы (5) асимптотически устойчиво. Чтобы доказать асимптотическую устойчивость(6) воспользуемся т.Ляпунова об асимптотической устойчивости. Проверим условия теоремы:

1)

2) при достаточно малой окрестности начала координат.

3)

ис-ма с перем. и заменяем (1):

№42

Дата добавления: 2015-07-19