Спектральный анализ сигналов в виде непериодической функции

Непериодическую функцию можно рассматривать как некоторую периодическую функцию, имеющую период, стремящийся к бесконечности. Практически такая функция будет представлять собой одиночный прямоугольный импульс. Так как , то , что означает слияние отдельных линий в спектре и потерю смысла в выделении дискретных значений частот.

При этом вместо целесообразно пользоваться понятием текущей частоты , которая может принимать любые значения, а амплитуда каждой частотной составляющей будет стремиться к бесконечно малой величине:

. (9.17)

Для одиночного прямоугольного импульса спектральная плотность будет определяться выражением:

. (9.18)

Для импульса произвольной формы это выражение имеет вид:

. (9.19)

Для получения исходной функции применяется интеграл Фурье:

. (9.20)

Рассмотрим спектр единичного ступенчатого сигнала, который применяется для анализа переходных процессов.

Аналитически ступенчатый сигнал описывается функцией:

(9.21)

Найдем спектральную плотность:

(9.22)

Вычисление этого интеграла связано с затруднениями: при функция не имеет определенного предела. Однако, если подинтегральное выражение домножить на величину , а затем положить , то получим:

(9.23)

Модуль спектральной функции будет равен:

(9.24)

Так как , то фазовый сдвиг . Это означает, что для образования в момент t =0 крутого изменения сигнала требуется суммирование всех гармонических составляющих с одинаковым фазовым сдвигом. Графики и приведены на рис. 9.9. Из графиков видно, что при ω =0 , а это указывает на наличие дискретного колебания с конечной амплитудой при .

Поэтому иногда удобнее единичный перепад представлять суммой двух функций:

, (9.25)

где при ;

В этом случае единичная функция может быть представлена в виде

(9.26)

а б

Рисунок 9.9 – Спектральная (а) и фазовая (б) характеристики ступенчатого сигнала

Дата добавления: 2015-11-14