Особенности спектрального анализа методом БПФ.

Гармонический сигнал (рис.9.5, а) является по существу одной из составляющих случайного процесса. Корреляционная функция этого сигнала (рис.9.5, б) равна:

, (9.12)

а функция спектральной плотности (рис.9.5, в)

(9.13)

Рисунок 5.5 – График гармонической (а), корреляционной (б) и
спектральной (в) функций

При обработке сигналов, наиболее эффективно применение преобразования Фурье. Однако прямое использование теории преобразования Фурье имеет следующие недостатки:

1) необходимость бесконечного интервала наблюдения;

2) необходимость интегрирования.

В практике это представляет серьезную проблему. Поэтому существует специальная методика, позволяющая устранить указанные недостатки.

Исследуемый гармонический сигнал X (t) рассматривается как произведение функции X (t) на прямоугольную функцию Y (t). В результате получаем сигнал (рис. 9.6).

Рисунок 9.6 – Графики функций X(t), Y(t), Z(t) при наблюдении
в течение времени Т

Так как операции умножения во временной области соответствует операция свертки в частотной области, то преобразование Фурье примет вид:

. (9.14)

Результат этой операции иллюстрируется графиками на рис 9.7

Рисунок 9.7 – Спектральные характеристики
сигналов X(t), Y(t), Z(t)

На графиках спектральных плотностей гармонический сигнал представляется функциями с амплитудой u в точках + ω₀ и -ω₀.

Так как ширина спектра обратно пропорциональна длительности наблюдения Т (прямоугольной функции), спектр исходной функции несколько размывается и искажается. Этот недостаток можно устранить только увеличением Т, т.е. окна функции Х.

Второй недостаток (интегрирование) устраняется следующим образом.

При применении ЭВМ преобразование Фурье для N дискретных точек имеет вид:

(9.15)

Обратное преобразование Фурье позволяет определить число необходимых точек:

(9.16)

Реализация процедуры преобразования требует выполнения умножений.

Если функцию задать большим числом точек, то затраты времени могут оказаться больше времени протекания процесса.

В связи с этим был разработан метод быстрого преобразования Фурье (БПФ).

Этот метод основан на идее, что число умножений для вычисления , где – целое число может быть меньше, чем за счет исключения симметричных точек. Следовательно, может принимать только разных значений (рис. 9.8).

В результате было установлено, что число умножений может быть уменьшено до величины .

Пусть , тогда , и . Отсюда видно, что количество умножений при применении БПФ по сравнению с обычным преобразованием составит .

Рисунок 9.8 – Симметричность значений
при и

Дата добавления: 2015-11-14