Обоснование идентифицируемости объекта

Идентификация параметров с помощью переходной функции производится вне процесса управления при включении системы. Управляющим воздействием при этом является ступенчатый сигнал с условным уровнем 1(t), который возбуждает в системе все гармонические составляющие при условии, что время нарастания сигнала будет меньше периода высшей гармонической составляющей.

Зависимость между входным сигналом x (t), переходной характеристикой процесса q (t) и выходным сигналом y (t) представляет собой свертку функций:

. (8.1)

где – переходная функция процесса, представляющая собой обратное преобразование Лапласа передаточной функции системы G (p).

Переходя от свертки функций оригиналов к изображениям, получим:

, (8.2)

. (8.3)

Тогда для единичного сигнала изображение выходного сигнала Y (p) равно:

(8.4)

Это уравнение можно использовать для идентификации параметров и прогнозирования поведения системы.

Доказательством того, что единичный ступенчатый сигнал возбуждает все гармонические составляющие и, следовательно, обеспечивает основное условие идентифицируемости системы, является восстановление передаточной функции после применения преобразования Фурье.

Рассмотрим пример.

Пусть система имеет передаточную функцию

. (8.5)

Изображение выходной величины при единичн6ом ступенчатом воздействии будет равно:

. (8.6)

Оригинал функции выходного сигнала получим обратным преобразованием Лапласа:

. (8.7)

Аналогично определим переходную функцию q (t):

при . (8.8)

Так как сходящаяся величина, то применяя одностороннее преобразование Фурье для переходной функции q (t), получим частотную характеристику:

(8.9)

Заменив на p, получим исходную передаточную функцию (8.5).

Если система имеет временное запаздывание τ,то переходная функция будет равна:

(8.10)

График этой функции приведен на рис.4.1

Рисунок 8.1 – График переходного процесса с запаздыванием длясистемы с передаточной функцией

8.2 Идентификация параметров объекта по переходной
функции (методика Орманса)

Для идентификации параметров двигателя постоянного тока с апериодической зависимостью скорости от времени разгона, когда Т_М>4Т_Я, часто используется переходная функция в виде:

(8.11)

Здесь – отношение текущего значения скорости вращения вала двигателя к установившемуся значению;

Т ₁, Т ₂ – постоянные времени в характеристическом уравнении, причем:

, (8.12)

где – коэффициент демпфирования двигателя.

Обозначим: , тогда .

Отметим также, что , .

Подставив все эти значения в (8.11), получим:

, (8.13)

где – относительное время.

При изменении отношения в широком диапазоне (от 0 до 0,25) было установлено, что величина слабо влияет на характер зависимости (8.13), особенно в точке .

Время, в течении которого достигается это значение скорости связано с электромеханической постоянной соотношением: .

Определив t ₁ экспериментальным путем, можем вычислить Т_м:

. (8.14)

Если теперь задать относительное время, например, , то получим с учетом соотношения новое время , для которого также определим.

Подставив и в (8.13), решаем нелинейное уравнение относительно .

После нахождения определяем ξ и далее . Приближенная формула имеет вид:

(8.15)

Пример. Пусть переходная характеристика имеет следующий вид (рис. 8.2).

Рисунок 8.2 – Переходная характеристика процесса разгона двигателя.

1. Определяем мс.

2. Находим мс.

3. Принимаем и находим мс.

4. Находим по графику при : .

5. По формуле (3) вычисляем мс

6. Проверяем условие :

Пример 8.1. Идентифицировать параметры электромеханической системы по переходной функции

Исходные данные:

1. Структурная схема объекта представлена на рис. 1.

Рисунок 8.3 – Структурная схема объекта

2. Передаточные функции структурных блоков:

3. Значения коэффициентов и постоянных времени: К₁= 10; К₂= 0,25; К₃= 2.5; Т₁= 1 с; Т₂= 5 с.

4. Моделирование переходного процесса произвести с применением пакета MATLAB (Simulink).

Вычисление параметров переходной функции выполнить с применением пакета MathCAD.

Решение:

1. Определим передаточную функцию замкнутой системы:

2. Производим моделирование в среде MATLAB. Схема математической модели представлена на рис. 2.

Рисунок 8.4 – Структурная схема математической модели объекта

Параметры моделирования:

– начало моделирования – 0,0;

– конец моделирования – 16,0с;

– способ моделирования – с фиксированным шагом (Fixed-Step);

– величина шага – auto (установлена автоматически).

Для блока Step, моделирующего внешнее возмущение, устанавливаем следующие параметры:

– время наступления перепада сигнала – 10,0 (по окончании переходного процесса);

– начальное значение сигнала – 0,0;

– конечное значение сигнала – 0,5 (принимаем возмущение на уровне 20% управляющего воздействия, т.е. ·, т.е. 1×2,5×0,2 = 0,5.

Результаты математического моделирования получены с помощью команды: plot(Time,out,Time,in) и представлены на рис. 8.5.

Рисунок 8.5 – График переходного процесса

Из графика видно, что:

– длительность переходного процесса составляет t_пп= 7,5 с;

– установившейся уровень сигнала 0,346;

– система имеет апериодический переходной процесс, устойчива;

– установившая ошибка составляет Е_уст= 0,1351.

– при возмущении ошибка увеличивается до 0,1794.

3. Постоянные времени объекта Т₁ и Т₂ определяем из графика переходной функции.

Так как Т₂> 4Т₁ и переходной процесс апериодический, то относительная величина выходного сигнала x (t) _отн описывается уравнением:

где – относительное время; – коэффициент, характеризующий соотношение Т ₁ и Т ₂; – коэффициент демпфирования системы;

Используя известный вывод, что величина h практически не влияет на b при , для которой »1,2.

Определяем значение при :

.

Из графика переходного процесса (см. рис. 3) определяем время установки значения , которое равно .

Так как , постоянная времени Т ₂ для составит:

.

Задавая другое относительное время находим

.

Из графика переходного процесса определяется

.

4. Используя среду математической прикладной программы MathCADProfessional, с помощью функции Given решаем уравнение x (t) относительно h:

с.

Определим ошибку идентификации:

Определяем условие апериодического процесса

Построим математическую модель объекта с учетом полученных значений постоянных времени (см. рис. 8.6).

Рисунок 8.6 – Совмещенная математическая модель с заданными и идентифицированными постоянными времени

Результатом математического моделирования являются графики переходного процесса математической модели с заданными (Х) и идентифицированными параметрами (ХЕ), которые представлены на рис. 8.7.

Рисунок 8.7 - Графики переходного процесса математической
модели с заданными (Х) и идентифицированными параметрами (ХЕ)

Вывод: Постоянные времени Т₁ и Т₂ могут быть идентифицированы с достаточной точностью по графику апериодического переходного процесса (во временной области).

8.3Оценка коэффициентов передаточной функции с помощью
гармонических входных воздействий

Гармонические входные воздействия описываются выражением:

, (8.16)

где , – амплитуда и частота к -ой гармонической составляющей (к =1,2…. n).

Выходной сигнал Х (t) будет представлять сумму частотных составляющих, отличающихся амплитудой и фазой:

, (8.17)

где – амплитудная частотная характеристика;

– фазовая частотная характеристика.

Пусть передаточная функция объекта известна и в общем виде представляет собой отношение многочленов:

. (8.18)

Производя замену перейдем к комплексной частотной характеристике:

. (8.19)

Выделим из этого выражения правую часть:

. (8.20)

Отсюда определим действительную и мнимую части числителя:

. (8.21)

Сравнив действительную и мнимую части, получим два уравнения:

(8.22)

Для решения системы (8.22) необходимо экспериментально определить вещественную и мнимую части частотной характеристики объекта и .

Подавая на вход объекта управляющие воздействия , получим выходные сигналы:

. (8.23)

Тогда вещественную и мнимую части можно определить либо через амплитудную и фазовую частотные характеристики

; (8.24)

, (8.24)

либо с помощью фильтра Фурье, реализованного программно в соответствии с выражениями

; (8.25)

, (8.26)

где Т – время усреднения результатов вычислений.

В результате экспериментов получим 2 n значений, которые используем в системе (8.22). Неизвестные коэффициенты и можно определить путем решения n систем уравнений.

Пример 8.2 Идентификация параметров электромеханической системы по частотным характеристикам

Исходные данные:

1. Передаточная функция объекта:

.

2. Значения постоянных: k = 15, a₀ = 0,03, a₁ = 0,03.

Решение:

1. Составляем структурную схему исследования математической модели с использованием пакета Simulink в среде MATLAB (рис. 8.8).

Рисунок 8.8 – Схема исследования математической модели
в пакете MatLabSimulink

Параметры настройки модели:

– Время моделирования – 0,0 ÷ 10,0 с;

– Амплитуда синусоидального сигнала – 1,0;

– Постоянная составляющая (Bias) – 0,0;

– Частота (Frequency) – 1,0; 5,0; 10,0 с^-1;

– Мультиплексор – 2 входа, способ отображения – bar;

Результаты исследований идеальной и реальной переходной характеристики, а также амплитудно-частотной и фазо-частотной характеристик выходного сигнала при различных частотах управляющего сигнала приведены на рис. 8.9–8.11.

Рисунок 8.9 – Идеальная и реальная переходная, амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики выходного сигнала при частоте

Обработка результатов математического моделирования проводится в следующей последовательности.

Входной сигнал описывается выражением

,

где .

Выходной сигнал Х(t):

.

Отношение этих сигналов определяется передаточной функцией объекта:

Рисунок 8.10 – Идеальная и реальная переходная, амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики выходного сигнала при частоте

Рисунок 8.11 – Идеальная и реальная переходная, амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики выходного сигнала при частоте

.

В общем случае передаточная функция при переходе к полярным координатам (амплитудно-фазовой характеристике) описывается отношением комплексных функций числителя (R) и знаменателя (Q) или представляется в комплексной форме следующим образом:

.

Отсюда числитель:

.

После группирования вещественной и мнимой составляющих получим:

Из графиков на рис. 8.9–8.11 определяем:

1. w ₁= 1 с ^-1, А ₁=15.13, j ₁= –3,089;

2. w ₂= 5 с ^-1, А ₂=36.85, j ₂= –46.7;

3. w ₃= 10 с ^-1, А ₃=7,234, j ₃= –163,7.

Определяем вещественные и мнимые характеристики объекта в этих точках:

1. w ₁= 1 с ^-1:

,

.

2. w ₂= 5 с ^-1:

,

.

3. w ₃= 10 с ^-1:

,

.

Определяем вещественные и мнимые характеристики числителя и знаменателя АФХ объекта:

.

Здесь:

Составляем систему уравнений для каждого из трех экспериментальных результатов:

w ₁= 1 с ^-1:

w ₂= 5 с ^-1:

w ₃= 10 с ^-1:

С применением пакета MathCad определяем решение системы уравнений при w ₁= 1 с ^-1 и w ₃= 10 с ^-1 относительно k, а₀, а₁:

Для построения амплитудно-фазовой частотной характеристики (см. рис. 8.12) в командном окне среды MatLab воспользуемся командой nyquist (sys), а именно

H=tf([15],[0.03 0.03 1])

nyquist(H)

Рисунок 8.12 – Амплитудно-фазовая частотная характеристика математической модели

8.4 Идентификация параметров объекта с помощью квадрата
модуля частотной характеристики и метода наименьших квадратов

При идентификации параметров интегрирующих устройств статистическим методами целесообразно линеаризовать экспериментальные данные с применением метода наименьших квадратов.

Из известных частотных характеристик (АФХ, ЛЧХ, АЧХ, ФЧХ) наибольшая точность идентификации достигается при применении квадрата модуля частотной характеристики.

Пусть необходимо идентифицировать коэффициент передачи и постоянную времени Т_и в передаточной функции ПИ- регулятора:

(8.27)

Квадрат модуля частотной характеристики ПИ – регулятора:

(8.28)

При замене переменных и выражение (8.28) линеаризуется следующим образом:

(8.29)

где , .

Идентификация производится в следующем порядке:

1. В ходе эксперимента измеряются амплитуда входного и выходного сигналов.

2. По результатам измерений определяются квадраты модулей частотных характеристик, которые наносятся на график в координатах X-Y.

3. Для линеаризации экспериментальных точек применяем метод наименьших квадратов, который позволяет определить коэффициенты a и b в уравнении (7) по минимуму квадратичной ошибки ε ²:

(8.30)

где n – количество точек измерений.

Для минимизации ошибки продифференцируем уравнение (8.30) по a и b и приравняем их производные к нулю. В результате получим:

(8.31)

Производя суммирование и перестановку, получим систему линейных уравнений относительно коэффициентов a и b

(8.32)

Для упрощения расчетов введем обозначения:

– среднее значение аргумента;

– среднее значение квадрата аргумента;

– среднее значение функции;

– среднее значение произведений функций и аргументов.

Тогда система уравнений (8.32) преобразуется в следующую систему:

(8.33)

Значение коэффициентов определяются решениями:

. (8.34)

. (8.35)

После вычисления коэффициентов искомые параметры и определяется в соответствии с (8.31):

; . (8.36)

8.5Идентификация параметров объекта с применением
квадрата модуля обратной частотной характеристики

Рассмотрим процедуру идентификации параметров электродвигателя, описываемой передаточной функцией второго порядка:

. (8.37)

Структура передаточной функции не позволяет произвести замену переменных для линеаризации частотной характеристики. Поэтому применим обратную частотную характеристику:

(8.38)

где – статический коэффициент преобразования, который можно определить в установившемся режиме измерением напряжения и скорости.

Для повышения точности идентификации перейдем к квадрату модуля обратной частотной характеристики:

(8.39)

Произведем замену переменных:

, , ,

.

Тогда .

Для линеаризации представим это выражение в иной форме и введем новую переменную:

. (8.40)

Тогда линейная зависимость принимает вид:

. (8.41)

Коэффициенты этой зависимости можно определить методом наименьших квадратов или графоаналитическим методом.

При применении графоаналитического метода необходимо экспериментальные значения опытов нанести в виде точек в координатах , а затем провести через область точек прямую, которая была бы максимально приближена к точкам (рис. 8.13).

Рисунок 4.3. – Графоаналитическое определение коэффициентов
линейной зависимости

9 СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА,
ИДЕНТИФИКАЦИИ И МОДЕЛИРОВАНИЯ

---

Дата добавления: 2015-11-14