Математическая обработка динамическиххарактеристик объектов управления

Будем рассматривать объект с одним входом и одним выходом со свойствами: стационарности, линейности, сосредоточенности параметров. На вход подается ступенчатое воздействие и на выходе снимается кривая разгона. Необходимо решить обратную задачу: по известной кривой разгона определить коэффициенты уравнения.

Для представления уравнений в безразмерной форме выполняется математическая обработка кривой разгона. Пересчитывается ордината кривой разгона (операция тарирования) по формуле

, (4.1)

где – экстремальные значения выходной величины.

При описании динамических свойств статических промышленных объектов ограничиваются одним из следующих дифференциальных уравнений

(4.2)

где T ₁, T ₂, T ₃ - коэффициенты левой части дифференциального уравнения;

T - коэффициент при первой производной в правой части дифференциального уравнения;

R ₀– коэффициент усиления объекта.

В уравнении 3-го порядка могут быть T ₃, T ₂, t = 0, тогда получаем частные случаи уравнений 1-го и 2-го порядков, и без запаздывания.

Для описания динамических свойств астатических объектов используются дифференциальные уравнения не содержащие члена y (t) и статического коэффициента усиления k₀, т.е. имеющих вид:

. (4.3)

Величина запаздывания t может быть определена графически следующим образом,изображенном на рис. 4.1.

Рисунок 4.1 – Графический метод определения величины запаздывания t

4.2 Идентификация параметров модели апериодического звена
1-го порядка по временным характеристикам

Во многих случаях, когда требуется найти аналитические выражения для передаточных функций идентифицируемых объектов по записям переходных процессов, удается использовать достаточно простые графические методы.

Для объекта апериодического звена 1-го порядка, математическая модель которого описывается следующим дифференциальным уравнением

, (4.4)

где k ₀ – коэффициент усиления, определяемый следующим образом

(4.5)

Передаточная функция апериодического звена первого порядка имеет вид

, (4.6)

где Т – постоянная времени, с.

Переходная функция данного звена описывается выражением:

. (4.7)

Импульсная переходная функция апериодического звена 1-го порядка

(4.8)

Переходный процесс и импульсная переходная функция реакции апериодического звена 1-го порядка на единичное воздействие приведено на рис. 4.2.

Рисунок 4.2 -Методика идентификации параметров
апериодического звена 1-го порядка.

Для объекта, математическая модель которого представляет звено первого порядка (4.6), переходная функция описывается выражением (4.7), откуда видно, что при t = T функция

. (4.9)

Из (4.9) следует, что постоянная времени исследуемого объекта Т в этом случае равна отрезку времени, за которое переходная функция достигает 63% своей установившейся величины, т.е. .

Постоянную времени T можно определить и другим способом, используя касательную к переходной функции на начальном участке (при t =0). Действительно, наклон h (t) при t =0 равен

. (4.10)

Уравнение касательной можно записать следующим образом:

, (4.11)

Откуда следует, что при t = T касательная достигает величины k,т.е. пересечение касательной с уровнем установившейся величины сигнала (см. рис. 4.3) происходит при t = T.

Рисунок 4.3 – Определение постоянной времени по переходной характеристике

Коэффициент передачи определяется соотношением между установившимся значением входного сигнала и амплитудой управляющего входного сигнала (см. рис. 4.4):

. (4.12)

Рисунок 4.4 – Амплитуда управляющего воздействия в форме
единичного скачка 1(t)Dx

Пример 4.1. Идентифицировать по графику переходной характеристики (см. рис. 4.5) передаточную функцию, коэффициент усиления и постоянные времени. В качестве управляющего воздействия принят – «единичный скачок» 1(t) к, с коэффициентом усиления к =5.

Рисунок 4.5 – График переходной характеристики
идентифицируемого объекта

Решение:

Переходный процесс имеет экспоненциальную форму и, как следствие, может быть описан передаточной функцией апериодического звена 1-го порядка.В качестве управляющего воздействия принят – «единичный скачок» x_упр=1 (t) к, с коэффициентом усиления к =5.

Идентифицируем постоянную времени.

Способ 1. Постоянную времени T можно определим используя касательную к переходной функции на начальном участке (при t =0). Из рисунка 4.6 видно, что постоянная времени составляет Т=2 с.

Способ 2. Проанализируем график переходного процесса:

– время переходного процесс с;

– установившееся значение c.

Используя выражения (4.9) определим отрезок времени,за которое переходная функция достигает 63% своей установившейся величины

.

Из графика переходного (см. рис. 4.6) процесса при =15,75 определяем постоянную времени, которая составит 2 с.

Рассчитаем коэффициент передачи, как соотношением между установившимся значением входного сигнала и амплитудой управляющего входного сигнала по выражению (4.12):

Рисунок 4.3 – Определение постоянной времени по переходной характеристике

Ответ: искомая передаточная функция имеет вид

.

Если переходная функция запаздывает на время е. равно 0 в течении промежутка времени τ после приложения ступенчатого воздействия,как показано на рис. 4.4, то система имеет чисто временное запаздывание, для которого преобразование Лапласа .

Рисунок 4.4 – Переходная характеристика системы с чистым запаздыванием

Следовательно, если переходная функция системы равна

(4.13)

то передаточная функция системы получается в виде

. (4.14)

По аналогии с рассмотренным метом идентификации с использованием переходной функции, передаточную функцию W (p) можно определить с помощью преобразования Фурье импульсной переходной функцией ω (t).

. (4.15)

График импульсной переходной функции представлен на рис. 4.5. Таким образом, Т и К определяются по графику: в начальной точке , равно Т, т.е. ω (T)≈0,37 k. Постоянную времени Т можно получить также, проводя касательную из на чала графика ω (t) др ее пересечения с осью времени, согласно уравнению (4.15),

, при . (4.16)

Рисунок 4.5 – Импульсная переходная функция
идентифицируемого объекта

На практике входной сигнал в системе является некоторым приближением к импульсу, и ω (t) никогда не начинается с величины . В этом случае Т и К можно определить, как показано на рис. 4.6, где максимальный наклон кривой в окрестности t =0 экстраполируется в обратно в направлении к t =0 так, чтобы была достигнута величина .

Рисунок 4.6 – Практический способ идентификации системы
первого порядка по импульсной переходной функции

Дата добавления: 2015-11-14