Идентификация моделей в виде типовых динамическихзвеньев по частотным характеристикам

Методика в большинстве своем носит теоретический характер, т.к. постановка эксперимента, связанная с экспериментальным построением для ряда объектов– сложная техническая задача. Только небольшая группа объектов с электрической природой сигнала может быть легко исследована в частотной области.

Частотный метод идентификации линейных систем основан на работах Найквиста и Боде и использует амплитудные частотные характеристики. В частотном методе полагается, что на вход подается синусоидальный сигнал,частота которого изменяется в рассматриваемом диапазоне. Следствием этого могут быть значительные практические трудности при формировании синусоидальных входных сигналов с различными частотами. Метод основан на следующем преобразовании Лапласа для отношения входа и выхода:

, (4.24)

или

, (4.25)

где G (p), X (p), Y (p) – передаточная функция, выход и вход системы, соответственно.

Возможен переход от концепции передаточной функции к пространству состояний и наоборот. Заметим, что переменная р преобразования Лапласа есть

, (4.26)

а так как нас интересует только изменение соотношения вход/выход в передаточной функции G по частоте, то можно предположить, что . Тогда получим

, (4.27)

Уравнение (4.27) представляет собой выражение преобразования Фурье, справедливое для сходящихся функций g (t), x (t) и у (t), где

, (4.28)

Таким образом, обозначает передаточную функцию системы при частоте ω (рад/с). Так как – комплексная величина, то можно рассмотреть модуль передаточной функции и аргумент (сдвиг по фазе). Тогда для

(4.29)

Получим зависимость, описывающую амплитудно-частотную характеристику

(4.30)

и фазово-частотную характеристику

. (4.31)

Выход x (t) линейной системой будет иметь ту же частоту, что и вход у (t), если у (t) – чисто синусоидальный входной сигнал с единственной частотой ω. В таком случае амплитуда x (t) в раз больше входного сигнала у (t), а ее фаза смещена относительно у (t), так что для

. (4.32)

получаем

. (4.33)

где

(4.34)

и

. (4.35)

Частотная характеристика определяется путем подачи синусоидальных входных сигналов на различных частотах ω и записи соответствующих выходных сигналов . С целью получения необходимой частотной характеристики величины M/N и ψ определяются для каждой рассматриваемой частоты ω.

Амплитудные частотные характеристики, которые широко используются в классической теории управления, состоят из амплитудной и фазовой (частотной) характеристик. Поэтому в общем случае является комплексной величиной. Если построить модуль измеренной частотной характеристики устойчивой линейной системы в единицах в зависимости от , то можно непосредственно идентифицировать эту систему. Ограничение случаев устойчивых систем имеет не только теоретический, но и практический смысл, так как в неустойчивых системах частотные характеристики нельзя измерить.

Из курса классической теории автоматического управления известно, что передаточную функцию можно представить в виде произведения передаточных функций звеньев . Можно получить приближенные выражения для амплитудных частотных характеристик, как показано в таблице 4.1.

Таблица 4.1 – Амплитудно-частотные характеристики

Звено	ω <<1/ T	ω =1/ T	ω >>1/ T
k	20lg k, дБ	20lg k, дБ	20lg k, дБ
	± n 20 дБ/дек	± n 20 дБ/дек	± n 20 дБ/дек
	0, дБ	±3, дБ	± n 20 дБ/дек
	0, дБ	в зависимости от ξ	± n 40 дБ/дек
е ^- Тр	0, дБ	0, дБ	0, дБ

Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ) звена при различных ξ представлена на рис. 4.15.

Рисунок 4.15– АЧХ системы второго порядка

Фазово-частотная характеристика (ФЧХ) может быть аппроксимирована так, как в табл. 4.2.

Аргумент звена с передаточной функцией при зависим также от ξ как показано на рис. 4.16.

Амплитудные аппроксимации предложенные в таб. 4.1 и 4.2, позволяют осуществить приближенную идентификацию любой устойчивой линейной системы по ее измеренной частотной характеристике. Идентификацию можно провести с использованием только АЧХ, если все коэффициенты полинома р в числителе имеют один и тот же знак. В противном случае для идентификации необходимаАЧХ ФЧХ.

Таблица 4.2 – Фазово-частотные характеристики

Звено	ω <<1/T	ω =1/T	ω >>1/T
k
	0 дБ
	0 дБ
е ^- Тр

Рисунок 4.16 – ФЧХ системы второго порядка

Идентификацию с использование частотных характеристик можно продемонстрировать на следующем примере.

Пример 4.*. Идентифицировать математическую модель объекта в виде динамического звена по частотным характеристикам (см. рис. 4.15).

Решение:

Аппроксимируем заданную ЛАЧХ ломаными Причем наклон отдельных участков выбирается кратным 20 дБ/дек

1. Определяем статический коэффициент передачи:

,

,

K =10.

2 Рассчитываем постоянные времени

3 Передаточная функция запишется

Рисунок 4.15 – Идентификация передаточной функции по частотным характеристикам

5МЕТОДИКА ИДЕНТИФИКАЦИИ МОДЕЛЕЙ В ВИДЕ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ ПО КРИВЫМ РАЗГОНА
НА ОСНОВЕ МЕТОДА ПЛОЩАДЕЙ (МЕТОД СИМОЮ)

Для расчета и построения системы автоматического управления технологическим объектом необходимо знать его математическую модель. В инженерной практике в качестве моделей технологических объектов чаще используют передаточные функции. Передаточная функция конкретного объекта управления находится, как правило, из кривой разгона (графика переходного процесса). Кривая разгона, представляющая собой график изменения выходной (регулируемой) величины во времени при подаче на вход объекта ступенчатого воздействия, может быть легко определена опытным путем.

Рассмотренные выше методы идентификации параметров объекта управления являются приближенными. Для более точной идентификации параметров объекта используют метод М.П. Симою, или «метод площадей», который позволяет определить параметры передаточной функции по кривой разгона объекта. Этот метод является одним из наиболее эффективных и удобных для реализации на ЭВМ.

При подаче на вход объекта ступенчатого возмущения выходная величина будет изменяться с течением времени плавно и изменяться на величину (см. рис. 5.1). Здесь и – начальные значения соответственно выходной и входной величин, и – установившиеся (конечные) значения этих величин.

Рисунок 5.1 – Экспериментальная кривая разгона апериодического
звена второго порядка.

В основу метода положено предположение, что исследуемый объект может быть описан безразмерной передаточной функцией с постоянными коэффициентами а ₁, а ₂, …, а_n, b ₁, b ₂, …, b_n представленной в следующем виде

, n > m (5.1)

При использовании этого метода исходную экспериментальную кривую разгона перестраивают в координатах s_вых (t), т.е. осуществляется приведение к единице выходной и входной величины в безразмерном виде:

, (5.2)

. (5.3)

В результате перестроения и получают исходную характеристику в диапазоне [0,1] как изображено на рис. 5.2

Рисунок5.2 – Преобразование экспериментальной кривой разгона апериодического звена второго порядка
при использовании метода Симаю.

Обычно полином A (p) ограничивают 3-им порядком:

. (5.4)

Рассмотрим частные случаи.

1) Если х_вых =0 при t =0, то полином B (p) будет 2-го порядка и, следовательно,

. (5.5)

2) Если х_вых =0 при t =0 и при t =0, что имеет место для данной экспериментальной кривой разгона, то полином B (p) будет 1-го порядка, а искомая математическая модель имеет вид:

. (5.6)

Для решения этой задачи кривую разгона, перестроенную в координатах s_вых (t)на отрезке (0¸ t_уст) разбивают на t_уст /D t частей, чтобы было 20-30 координат: s₁ ¸ s₃₀.

Задача идентификации состоит в определении (n + m) неизвестных коэффициентов b ₁, b ₂,…, b_m,. a ₁, a ₂,…, a_n передаточной функции W^* (p) из следующей системы уравнений

(5.7)

В системе уравнений i = m + n. Параметры F_i, входящие в систему уравнений, имеют (5.7) аналитические выражения

, (5.8)

, (5.9)

. (5.10)

В формулах (5.7) – (5.10) обозначено: D t – величина интервала времени на которые разбивается кривая разгона при ее обработке; i – число интервалов времени; – приведенные значения выходной величины на каждом интервале времени D t; – величина интервала времени, пересчитанного в другом масштабе.

Идентификация объекта регулирования должна заканчиваться проверкой адекватности экспериментальной кривой разгона y (t) и считанной по найденной передаточной функции – y^~ (t). При проверке адекватности кривые составляют графически и количественно оценивают критерием

, (5.11)

где t_уст – время переходного процесса в объекте управления.

Пример 5.1. Записать систему уравнений для определения коэффициентов передаточной функции, для второго частного случая (5.5).

Решение:

Запишем систему алгебраических уравнений, из которых находим коэффициенты b ₁, a ₃, a ₂, a ₁:

.

Выражения замены интеграла на сумму площадей запишутся:

;

,

;

.

Чтобы вернуть нормированную передаточную функцию к передаточной функции объекта , нужно первую умножить на :

.

Если и , то примет вид:

.

Дата добавления: 2015-11-14