Статистический анализ с применением сигналов белого шума

Предельными формами случайных процессов являются сигнал типа «белый шум» и гармонический сигнал.

Белый шум – это случайный процесс Х (t), который характеризуется отсутствием какой-либо взаимной статистической связи между любыми двумя значениями Х (t) и имеет постоянную спектральную плотность S_xx (ω).

Корреляционная функция белого шума, график которой приведен нарис.9.10, а, равна нулю для любого τ, кроме :

, (9.27)

где – спектральная плотность белого шума рис.9.10, б.

Учитывая, что дельта-функция определяется выражением

, (9.28)

корреляционную функцию белого шума можно представить в виде:

. (9.30)

Рисунок 9.10 – Графики корреляционной функции (а) и спектральной плотности (б) сигнала белого шума

Дисперсия белого шума равна бесконечности, т.к.

Физический процесс типа “белый шум” реализовать невозможно, т. к. мощность этого процесса бесконечно большая. Однако белый шум применяется для анализа как математическая абстракция, а при некоторых условиях в практически реализуемом диапазоне частот применяется аппроксимация белого шума сигналом с ограниченным спектром, так называемым “серым” или “цветным ” шумом.

9.6 Статистический анализ реализации случайного процесса
на выходе системы

Количественные оценки качества модели начинаются с определения ошибки. При решении инженерных задач наиболее часто используется среднеквадратическая ошибка , которая возникает, во-первых, вследствие неполной отработки полезного сигнала , спектральная плотность которого выходит за пределы амплитудно – частотной характеристики системы , во-вторых, вследствие действия возмущений и помех , спектральная функция которых перекрывает полосу пропускания системы, (см. рис. 5.11)

Рисунок 9.11 – Расположение характеристик системы,
полезного сигнала и сигнала ошибки.

Учитывая, что , и применяя преобразование Лапласа, получим:

, (9.31)

где – передаточная функция объекта, на который воздействуют сигналы .

Дальнейшие преобразовании позволяют выделить передаточную функцию ошибки :

(9.32)

где – ошибка отработки полезного сигнала; – ошибка от действия помехи; – передаточная функция сигнала ошибки.

Структурная схема формирования сигнала ошибки показана на рис. 9.12

Рисунок 9.12 – Структурная схема формирования сигнала ошибки.

Поскольку и не коррелированны, то корреляционная функция сигнала ошибки равна:

. (9.33)

Преобразуя обе части этого уравнения по Фурье, найдем спектральную плотность сигнала ошибки

, (9.34)

которая состоит из двух составляющих:

1) – эта часть описывает неполную отработку полезного сигнала m(t);

2) – эта часть определяет вклад спектральной плотности помехи n(t), т. е. возмущающеговоздействия.

Таким образом, спектральная плотность сигнала ошибки равна:

(9.35)

Для замкнутой системы (см. рис 9.13) передаточная функция сигнала ошибки:

. (9.36)

Рисунок 9.13 – Структурная схема замкнутой системы

Тогда спектральная плотность сигнала ошибки будет равна:

. (9.37)

Отсюда можно определить среднее квадратическое значение ошибки:

(9.38)

Вычисление интегралов производят либо с применением таблиц стандартных интегралов, либо численными методами программных пакетов.

9.7 Статистические методы построения модели и
идентификации параметров

Статистические методы анализа применяют для моделирования сложных систем, математическое описание которых дифференциальными уравнениями затруднительно. Построение модели производится на основе анализа входной и выходной информации.

Известно, что информация об исследуемом объекте, которая содержится в его выходном сигнале y (t), зависит от предистории сигнала, что видно по уравнению свертки:

, (9.39)

где - входной сигнал, h (t) – весовая функция.

Задача моделирования сводится к определению весовой функции h (t) по наблюдениям объекта, начиная с момента t =0. При этом выходной сигнал y (t) при t >0 зависит от сигнала, порожденного ненулевыми начальными условиями при t <0. Так как этот сигнал не связан с наблюдаемой реализацией входного сигнала U (t)для t >0, то он характеризует свободное движение системы, характер которого определяется положением нулей и полюсов системы.

Процесс свободного движения описывается уравнением:

(9.40)

Выходной сигнал, характеризующий вынужденные колебания системы y_в (t), определяется с момента t =0:

(9.41)

Тогда полный выходной сигнал равен:

(9.42)

Критерием качества анализа модели является функционал ошибки e (t):

(9.43)

где – выходные сигналы объекта и модели, соответственно; – ошибка, величина рассогласования ,определенная в интервале наблюдения t =[0, T ].

Время оценивания ошибки Т зависит, во-первых, от скорости сходимости к асимитотическим оценкам, что можно определить по изменению дисперсии оценок, во-вторых, от уровня аддитивных шумов (погрешностей нуля) и методов их фильтрации.

Значение ошибки должно быть задано, так как ее величина определяет меру риска, который может быть связан либо с изучением, либо с управлением.

Для минимизации ошибки необходимо:

1) зафиксировать начальные условия на время наблюдения объекта;

2) установить виды, параметры и точки приложения возмущений (помех);

3) определить необходимые интервалы времени Т для оценки параметров;

4) применить методы минимизации ошибок.

Если модель и объект описываются комбинацией линейных F и нелинейных G операторов, то модель может быть реализована по схеме приведенной на рис.9.14

Рисунок 9.14 – Обобщенная модель

Обобщенная ошибка зависит от параметров настройки коэффициентов и :

(9.44)

Для настройки коэффициентов, удовлетворяющих минимуму критерия применяется метод градиента.

Градиент представляет собой вектор, показывающий направление изменения коэффициентов. Так как функция зависимости Е от коэффициентов имеет экстремум, то градиент определяет траекторию движения к минимальному значению Е в соответствии с выражением:

. (9.45)

При этом коэффициенты на каждом шаге настройки уточняются в соответствии с алгоритмом:

. (9.46)

где – вектор коэффициентов модели после i-ой настройки; – коэффициент, задающий скорость движения по градиенту; – значение функционала ошибки в i -ом наборе ошибок.

Литература: [1] с. 97-103, [3] с. 271-339

10 ПРИМЕНЕНИЕ ИДЕНТИФИКАЦИИ В СИСТЕМАХ
АДАПТИВНОГО УПРАВЛЕНИЯ

10.1 Основные схемы контуров адаптации и функции
систем идентификации

Адаптивное управление осуществляется путем изменения параметров настройки и структуры регуляторов введением дополнительных обратных связей.

При изменении параметров настройки регуляторов адаптивные системы называются самонастраивающимися, а при изменении структуры регуляторов – самоорганизующимися.

Введение дополнительных обратных связей, воздействующих на регулятор, осуществляется в контуре адаптации, который состоит из системы идентификации параметров состояния объекта и блока расчета параметров регулятора(рис. 10.1).

Рисунок 10.1 – Классическая схема адаптивной системы управления

Наряду с классической схемой адаптивной системы управления широко применяются адаптивные системы с эталонной моделью.

В схемах с эталонной моделью, кроме анализа входных х (t) и выходных y (t) сигналов объекта в систему идентификации поступает также сигнал ошибки , то есть сигнал о рассогласовании процесса управления с эталонным процессом, определяемым моделью (рис. 10.2).

Таким образом, в схеме с эталонной моделью коэффициенты регулятора k (t)изменяются с учетом требований обеспечения наилучшего поведения объекта, причем система идентификации выполняет функцию определения направления (уменьшения или увеличения) изменения коэффициента.

В зависимости от конкретных задач эталонные модели могут включаться по отношению к основному контуру не только параллельно, но и последовательно или последовательно - параллельно.

Рисунок 10.2 – Структурная схема адаптивной системы управления
с эталонной моделью

10.2 Определение параметров эталонной модели и передаточной
функции устройства адаптации.

Рассмотрим, например, объект с корректирующим устройством в цепи обратной связи и передаточной функцией

(10.1)

где – параметр объекта, изменяющийся во времени.

Корректирующее устройство представим пропорциональным звеном с передаточным функцией:

. (10.2)

Структурная схема основного контура системы представлена на рис. 10.3.

Рисунок 10.3 – Структурная схема основного контура системы управления

Задача заключается в том, что необходимо определить передаточную функцию эталонной модели, а, следовательно, эталонного сигнала выхода и затем разработать алгоритм изменения , чтобы выходной сигнал объекта отклонялся от эталонного на минимальную величину.

С этой целью представим изменяющиеся параметры и объекта и настройки в виде постоянных и переменных слагаемых:

. (10.3)

В качестве эталонной модели принимаем описание замкнутой системы объекта и корректирующего устройства с постоянными параметрами:

, (10.4)

где .

Передаточная функция основного контура:

. (10.5)

Дифференциальное уравнение объекта:

(10.6)

Дифференциальное уравнение для модели:

(10.7)

Вычитая из (10.6) уравнение (10.7) и принимая во внимание, что , а, следовательно, , получим:

(10.8)

Полученное уравнение является описанием координатного движения рассогласования объекта и модели, то есть моделью идентификации ошибки.

10.3 Разработка алгоритма и структурной схемы адаптивной
настройки регулятора

Представим переменные и параметром рассогласования:

. (10.9)

Очевидно, что при и рассогласование асимптотически уменьшается до нуля.

Из уравнения (3) получим:

(10.10)

В дифференциальном уравнении (10.10)условие достижения минимума ошибки е выполняется при . Для достижения этого условия необходимо определить алгоритм обнуления параметра , так как остальные параметры и известны.

Принимаем в качестве алгоритма движение по градиенту. Определим производные слагаемых параметра g:

; (10.11)

. (10.12)

Здесь производная принята равной нулю, так как объект квазистационарен и его параметр за время настройки регулятора не изменяется.

В таком случае:

. (10.13)

представляет собой градиент.

Для движения по градиенту необходимо выбирать шаг . Тогда алгоритм настройки коэффициента регулятора описывается выражением:

. (10.14)

Для определения величины подстройки необходимо осуществить интегрирование. Тогда передаточная функция адаптивного регулятора принимает вид:

. (10.15)

Структурная схема адаптивной системы управления представлена на рис. 10.4.

Рисунок 10.4 – Структурная схема адаптивной системы управления

В системе адаптивного управления эталонная модель включена параллельно объекту. В основном контуре управление объектом осуществляется по ошибке , а в контуре адаптации – по ошибке . Контур адаптации включает в себя схему определения ошибки и измерения выходного сигнала , которая не показана, блок перемножения этих сигналов, интегратор с коэффициентом передачи и блок суммирования постоянной и переменной составляющей коэффициента настройки .

ЛИТЕРАТУРА

1. Эйкофф П. Основы идентификации систем управления. – М.: Мир, 1975.–683 с.

2. Автоматика и управление в технических системах: В 11 кн./ Отв. ред. Емельянов, В.С. Михалевич – К.: Вищашк., 1990. – Кн. 2. Идентификация объектов систем управления технологическими процессами / В.Н. Киричков; Под ред. А.А. Краснопрошиной. – 263 с.

3. Методы классической и современной теории автоматического управления: Учебник в 3-х т. Т. 1: Анализ и статистическая динамика систем автоматического управления / Под ред. Н.Д. Егупова. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000. – 748 с.

4. Михайлов О. П. Динамика электромеханического привода металлорежущих станков. М.: Машиностроение, 1989. – 224 с.

5. Попович М. Г. Теорія автоматичного керування: Підручник. / М.Г. Попович, О.В. Ковальчук. К.: Либідь, 1997. – 544 с.

6. Основы проектирования следящих систем / Под ред. Н.А. Лакоты. М.: Машиностроение, 1978. – 391 с.

7. Романенко В. Д., Игнатенко Б.В. Адаптивное управление технологическими процессами на базе микроЭВМ: Учеб.пособие. – К.: Вищашк., 1990. – 334 с.

8. Методы классической и современной теории автоматического управления: Учебник в 3-х т. Т.3; Методы современной теории автоматического управления / Под ред. Н.Д. Егупова. – М.: Изд-во МВТУ им. Баумана. 2000. – 748 с.

Навчальневидання

РАЗЖИВІН ОлексійВалерійович

Дата добавления: 2015-11-14