Обобщенный метод Ньютона

Суть метода заключается в том, что исходная функция F(x) заменяется полиномом второй степени – параболой – и затем отыскивается ее минимум. Исходная функция F(x) аппроксимируется в точке начального приближения некоторой другой функцией φ(x) путем разложения в ряд Тейлора F(x) и сохранения членов, содержащих вторые производные. Так для функции двух переменных:

. (4.12)

Вычислив градиент этой новой функции и приравняв его к нулю, можно найти вектор приращения ∆х, а, значит, и точку нового приближения x¹.

Используя обобщенный метод Ньютона, выполним распределение активной мощности между станциями по минимуму расхода топлива.

Целевая функция:

.

Нахождение минимума функции (3.13) можно выполнить, решив следующую систему уравнений

, (4.13)

где G – матрица Гессе – матрица вторых частных производных целевой функции, - вектор градиента в точке начального приближения.

Найдем вектор градиента для исходной функции

Вычислим матрицу Гессе:

Также как и в предыдущих случаях в качестве начального приближения выберем вектор

.

Тогда вектор градиента в точке исходного приближения будет равен

Следовательно, система линейных уравнений примет вид:

Тогда решением системы будет вектор приращения ∆Р⁽¹⁾

Следовательно, точка нового приближения

Таким образом, после одной итерации минимизации целевой функции обобщенным методом Ньютона получили следующее распределение активной мощности между станциями:

На второй итерации вектор антиградиента стремиться к нулю, следовательно требуемая точность достигнута на первой итерации.

Расчет перетоков активной мощности по ЛЭП:

Рисунок 4.1 – Потокораспределение в сети

Дата добавления: 2015-11-16