Математические ожидания и дисперсии стандартных распределений

Пример 31. Распределение Бернулли В _р,

Пример 32. Биномиальное распределение В _n,p

Воспользуемся свойством устойчивости биномиального распределения относительно суммирования — леммой 5. Возьмем n независимых случайных величин ξ₁ ξ₂ … ξ_n, имеющих распределение Бернулли В _,p = В _1,p.

Тогда их сумма S_n = ξ₁ + ξ₂ +… + ξ_n имеет распределение В _n,p

так как все ξ_i одинаково распределены и их математическое ожидание равно p_i;

поскольку ξ_i независимы и дисперсия каждой равна pq.

Пример 33. Геометрическое распределение G _p

При p Î (0,1)

Равенство (*) появилось из-за нежелания дифференцировать сумму геометрической прогрессии, которая начинается не с 0 а с q. Заметьте, что производная у добавленных слагаемых равна 0, так что производные от этих двух сумм равны

Поэтому

Пример 34. Распределение Пуассона П _λ

Показать, что

, следовательно

Пример 35. Равномерное распределение U _a,b

Пример 36. Стандартное нормальное распределение N _0,1

поскольку под интегралом стоит нечетная функция, и сам интеграл абсолютно сходится (за счет быстро убывающей

Последнее равенство следует из того, что

а интеграл по всей прямой от плотности любого распределения равен 1. Поэтому

Пример 37. Нормальное распределение

Мы знаем, что если

Поэтому

Пример 38. Показательное (экспоненциальное) распределение Е _α

Найдем для произвольного k Î N момент порядка k.

В последнем равенстве мы воспользовались гамма-функцией Эйлера:

Соответственно,

Пример 39. Стандартное распределение Коши С _0,1

Распределение Коши. Говорят, что ξ имеет распределение Коши с параметрами α, σ², где α Î R, σ > 0, если

для всех х Î R

Распределение Коши имеет, например, абсцисса точки пересечения луча, посланного из точки (α, σ) под наудачу выбранным углом,

с осью ОХ.

Математическое ожидание для распределения Коши не существует, поскольку

расходится (подинтегральная функция ведет себя на бесконечности как 1/х).

Пример 40. Распределение Парето

Распределение Парето. Говорят, что ξ имеет распределение Парето с параметрами х₀, s, где х₀ > 0, s > 0, если

У распределения Парето существуют только моменты порядка u < s, поскольку

сходится при u < s, то есть когда подинтегральная функция на бесконечности бесконечно мала по сравнению с 1/х.

«Случайных величин без мат. ожидания не бывает, так как, если у нас есть случайная величина мы всегда в праве от нее что-нибудь ожидать.»

Из студенческой контрольной работы.

Дата добавления: 2015-11-16