Комплексного переменного.

Пусть – область в плоскости комплексного переменного . Условимся граничные точки этой области обозначать буквой , а внутренние по-прежнему буквой . Запись означает, что и координаты рассматриваемой точки границы области . Положение точки на каждом из контуров, составляющих , однозначно определяется дуговой координатой , которая отсчитывается в положительном направлении по данному контуру от некоторой фиксированной его точки. Поэтому любая функция , заданная на , на каждом из контуров представляет собой функцию действительной переменной . Условимся сложную функцию обозначать символом . Интегралы вида

,

взятые по некоторой дуге контура , от точки до точки , будем обозначать так же через

.

Предположим вначале, что область является конечной и односвязной. Ее граница состоит из одного замкнутого контура , который считаем гладким. Начало декартовой системы координат расположим во внутренней точке .

Во второй граничной задача плоской теории упругости на заданы перемещения , . Функции и по физическому смыслу задачи являются непрерывными функциями точки контура области или соответствующей дуговой координаты . Для внутренних точек области

.

Поскольку перемещения и являются непрерывными функциями точек замкнутой области , то при получим

на . (9.1)

Под левой частью этого равенства подразумевается предельное значение выражения , когда , оставаясь внутри области , стремится к точке контура . Это граничное значение существует, так как функция точек области непрерывна.

Во второй граничной задаче требуется найти аналитические функции и в , если известно, что на границе области выполняется условие (9.1).

Рассмотрим теперь первую граничную задачу. По физическому смыслу напряжения в являются непрерывными функциями. Будем рассматривать только те граничные задачи, в которых напряжения непрерывны в замкнутой области . Отсюда следует, что задаваемые напряжения необходимо непрерывны на границе области . В предположении, что граница области является гладкой и что напряжения и перемещения непрерывны в доказана единственность решения граничных задач плоской теории упругости [].

Для вывода граничного условия, которому должны удовлетворять искомые функции и , воспользуемся формулой (4.4), согласно которой

. (9.2)

Здесь интегрирование производится вдоль произвольной гладкой дуги в с начальной точкой и конечной , и – координаты вектора напряжений в точке дуги с дуговой координатой (начало отсчета дуг находится в точке ).

В силу непрерывности напряжений в замкнутой области формула (9.2) оказывается справедливой и для дуги , принадлежащей границе области , то есть

, (9.3)

где

. (9.4)

Выражение в левой части формулы (9.3) нужно принимать как граничное значение выражения при стремлении к точке контура . Это граничное значение существует вследствие предположения о непрерывности напряжений в

Таким образом, граничное условие, которому удовлетворяют искомые аналитические в функции и , в случае первой граничной задачи плоской теории упругости выражается формулой (9.2). при этом функции и являются известными действительными функциями точек контура , определяемыми формулой (9.3) (положительное направление обхода контура выбирается таким, чтобы область оставалась слева при движении вдоль ).

Заметим, что постоянной, фигурирующей в правой части граничного условия (9.2), можно придать любое значение. Действительно, мы знаем, что напряженное состояние тела не изменится, если функции и заменить на и , где – действительная постоянная, а и – комплексные постоянные. При этом заменится на . Отсюда следует, что путем подходящего выбора одной из постоянных и можно придать любое значение постоянной, фигурирующей в условии (9.2). Выбором оставшихся постоянных можно распорядится так, чтобы оказалось, например,

или и . (9.5)

Эти дополнительные условия вполне фиксируют искомые функции и при условии, что зафиксирована постоянная в правой части формулы (9.2).

В случае второй граничной задачи плоской теории упругости граничные условия (9.1) однозначно определяют перемещения всех точек упругого тела, а также напряжения. Но тогда по сказанному в § 5 надлежащим выбором констант и (напомним, что , ) можно добиться того, чтобы

или .

Эти дополнительные условия фиксируют искомые функции и при решении второй граничной задачи.

Рассмотрим теперь случай бесконечной области , ограниченной одним замкнутым гладким контуром (бесконечная плоскость с отверстием). Граничные условия второй и первой задачи сохраняют прежний вид (см. (9.1) и (9.2)). В формуле (9.2) функция определяется формулой (9.3) при прежнем условии относительно выбора положительного направления обхода контура (область при обходе должна оставаться слева).

Искомые аналитические функции и в случае бесконечной области не являются, вообще говоря, однозначными. На основании результатов § 7 в предположении, что начало координат находится внутри контура , эти функции имеют структуру:

,

.

Здесь , – однозначные в аналитические функции, включая бесконечно удаленную точку; , – координаты главного вектора внешних усилий, приложенных к границе области ; и – комплексные постоянные, определяющие распределение напряжений на бесконечности и значение

.

Величины , должны считаться заданными по условию во второй граничной задаче (в случае первой граничной задачи они могут быть вычислены по заданным на напряжениям). По условию считаются заданными во второй задаче постоянные и , а в случае первой задачи – постоянные и (мнимая часть постоянной не влияет на распределение напряжений).

Рассмотрим в заключение случай многосвязной конечной области , граница которой состоит из нескольких контуров: , , …, , . Искомые функции , , вообще говоря, многозначны в :

,

.

Здесь , – однозначные аналитические в функции, – произвольно взятые фиксированные точки внутри контуров , ; , – координаты главного вектора внешних нагрузок, приложенных к контуру

В случае первой граничной задачи величины , известны (их можно вычислить по заданным внешним напряжениям на контурах границы области ). В случае второй граничной задачи эти величины заранее не известны и подлежат определению вместе с функциями , .

Граничное условие второй задачи дается формулой (9.1), в которой под нужно понимать совокупность контуров , , …, , границы области . Граничное условие первой задачи на каждом из контуров можно записать так

на , ,

где – некоторые постоянные, а

на .

Здесь – произвольно взятая фиксированная точка на . Положительное направление отсчета дуг на считается то, которое оставляет область слева.

Постоянные не известны заранее. Одну из них, например , можно произвольно зафиксировать (выражение определяется при заданных напряжениях с точностью до произвольного постоянного слагаемого). остальные постоянные , , …, являются неизвестными и подлежат определению вместе с функциями , .

Искомые функции , могут быть зафиксированы при помощи дополнительных условий. Считая, что начало координат расположено в области , в случае второй граничной задачи можно положить

или ,

А в случае первой задачи, считая постоянную зафиксированной, можно считать

или , .

Если внимательно проследить за выводом граничных условий (9.1) и (9.2), то несложно заметить. Что для постановки граничных задач требуется непрерывность вплоть до границы , то есть , выражений

, (9.6)

Без обязательного требования непрерывности напряжений в . Поэтому естественно заменить требование непрерывности напряжений , , в менее ограничительными требованиями непрерывности вплоть до границы второго выражения (9.6). Однако в целях значительного упрощения рассуждений при изложении методов решения граничных задач плоской теории упругости наложим на искомые аналитические в функции и несколько более ограничительные условия: функции и должны быть непрерывны в замкнутой области . Решение граничной задачи, обладающее этим свойством, будем называть регулярным.

Если решение регулярно, то выражения (9.6) непрерывно продолжимы на , так как функции и непрерывны в . Обратное же, вообще говоря, несправедливо.

В дальнейшем, будем рассматривать лишь регулярные решения. В монографии [] доказаны теоремы единственности для первой и второй граничных задач в предположении, что рассматриваемые решения регулярны.

Дата добавления: 2015-07-10