Комплексное представление бигармонической функции.

Читайте также:

Из результатов предыдущего параграфа можно сделать вывод о том, что решение любой граничной задачи плоской теории упругости, то есть задачи об отыскании такого решения системы дифференциальных уравнений (1.1)-(1.3), которое удовлетворяет заданным граничным условиям в области, занятой телом, сводится к отысканию лишь одной бигармонической функции напряжений . Можно еще более упростить решение задачи плоской теории упругости, сведя их к определению двух аналитических функций в области, занятой упругим телом. Покажем это.

Пусть – некоторая бигармоническая функция. С этой функцией связываем гармоническую функцию

При помощи функции построим пару сопряженных гармонических функций и , которые определяют аналитическую функцию в области , занятой упругим телом. Пусть –функция, сопряженная , положим

Рассмотрим функцию . Подействуем на нее оператором Лапласа, получим

так как . Следовательно, функция является гармонической в области . Таким образом, произвольная бигармоническая функция может быть представлена в виде

где и – сопряженные гармонические функции, а – гармоническая функция.

Введем в рассмотрение аналитическую функцию

тогда предыдущее выражение для бигармонической функции можно записать в таком виде

, (3.1)

где – действительная часть комплексного числа , , , . Полученная формула определяет искомое представление бигармонической функции через две аналитические функции и .

Для определения напряжений и перемещений в упругом теле важно знать не столько функцию напряжений, сколько ее производные по переменным и . Вычислим первые и вторые производные функции напряжений (3.1). Имеем