Случай конечной области).

По физическому смыслу напряжения и перемещения в упругом теле являются однозначными функциями независимо от того, является ли область , занятая телом, односвязной или многосвязной. Этого нельзя сказать об искомых аналитических в функциях , , , .

Пусть область ограничена конечным числом замкнутых контуров , , …, , , не имеющих общих точек. Пусть контур охватывает все остальные. Любой контур считаем гладким или кусочно-гладким. На каждом из контуров установим положительное направление обхода области : при движении по контуру в положительном направлении область остается слева.

Рассмотрим одну из формул Колосова-Мусхелишвили:

.

По физическому смыслу напряжения и являются однозначными функциями в области . Следовательно, действительная часть аналитической функции также является однозначной функцией точек области . Мнимая же часть в общем случае может оказаться многозначной функцией. Это означает, что при обходе одного или нескольких контуров , , …, значение функции может изменяться и не совпадать с исходным.

Пусть при обходе контура функция получает приращение , где – действительная постоянная. введем вместо более удобную для последующего постоянную :

, .

Рассмотрим вспомогательную функцию в

, (6.1)

где , , …, – некоторые фиксированные точки комплексной плоскости, выбранные внутри контуров , , …, . Учитывая формулу

,

заключаем, что при однократном обходе контура против часовой стрелки по любой замкнутой кривой функция получит приращение . Остальные члены под знаком суммы в формуле (6.1) приращения не получат. Это означает, что функция оказывается я однозначной в области . Таким образом, искомая функция имеет такую структуру:

, (6.2)

где – однозначная в аналитическая функция.

Рассмотрим функцию . Известно, что эта функция связана с функцией таким соотношением

,

где – произвольная точка области , а – некоторая фиксированная точка той же области. Принимая во внимание формулу (6.2), получаем:

.

Но интеграл

представляет собой функцию комплексного переменного в многосвязной области , которая при обходе вокруг одно из контуров может получить приращение , где – в общем случае комплексная постоянная (например, ). Поэтому, аналогично предыдущему можно написать

,

где – однозначная в функция. Внесем полученное выражение для интеграла в последнюю формулу для . после очевидных преобразований приведем выражение для функции к виду:

. (6.3)

Установим теперь характер многозначности функции и . Для этого воспользуемся следующей формулой Колосова-Мусхелишвили

.

Слева в этом равенстве стоит однозначная функция точек области , следовательно, функция также однозначна в . Из формулы (6.2) вытекает однозначность функции . Функция однозначна в как произведение двух однозначных функций. Следовательно, функция является однозначной в многосвязной области . Функция

может оказаться многозначной, так при обходе вокруг контура интеграл может получить в общем случае ненулевое приращение. Таким образом, в общем случае функция имеет такую структуру в :

, (6.4)

где – однозначная в функция.

Учтем теперь то обстоятельство, что перемещения и по физическому смыслу являются однозначными функциями точек области . Но тогда однозначна в и функция . Воспользуемся третьей формулой Колосова-Мусхелишвили:

.

Отправляясь от формул (6.2)-(6.4), выразим приращение правой части последнего равенства через постоянные , и при однократном обходе контура (приращение левой части равно нулю)

.

Это равенство выполняется для произвольно взятого , поэтому коэффициенты многочлена первой степени относительно переменной (в правой части равенства) должны быть равны нулю, то есть

, .

Отсюда вытекает, что

, . (6.5)

В § 4 указывалось, что координаты и главного вектора нагрузки, которая приложена к дуге со стороны отброшенной части тела, можно вычислить при помощи формулы:

.

Возьмем в качестве дуги какой-либо контур , охватывающий контур и не охватывающий других граничных контуров области . При обходе этого контура по ходу часовой стрелки (по ходу часовой стрелки совершается обход и контура в положительном направлении) получим

. (6.6)

Правая часть этого равенства является постоянной величиной и, поэтому, не зависит от выбора контура , который можно взять как угодно близким к граничному контуру . Это дает основание считать и координатами главного вектора внешней нагрузки, приложенного к контуру .

На равенства (6.5) и (6.6) можно смотреть как на систему уравнений относительно неизвестных постоянных , и . Из этой системы находим

, , .

Подставим полученные значения постоянных , , в формулы (6.3) и (6.4), получим окончательное выражение для функций и :

,

. (6.7)

Здесь , , …, – произвольно выбранные точки, расположенные внутри контуров , , …, ; , – однозначные аналитические в многосвязной области функции; , – координаты главного вектора внешней нагрузки, приложенной к контуру .

Таким образом, из однозначности напряжений и перемещений в многосвязной области не следует однозначность всех искомых функций , , , . Функции и являются однозначными лишь в том случае, когда все главные векторы внешних нагрузок, приложенных к внутренним контурам области равны нулю.

Заметим в заключение, что в соответствии с установленным в предыдущем параграфе фактом, напряжения в упругом теле не изменяются, если заменить функцию на функцию , а на , где – действительная постоянная, а и – комплексные. Чтобы остались неизменными при этом и перемещения в теле, постоянные и должны быть связаны соотношением .

Дата добавления: 2015-07-10