Сети вихрей – скелетон фазы скалярного поля 8 страница

, (3.94)

где – количество точечных источников; , – фаза и координаты -го точечного источника. Различие в формировании «входной» выборки точечных источников ортогональных компонент заключается лишь в том, что в выборках, соответствующих разным компонентам, некоторое количество точечных источников полностью отличается как по фазе, так и по локализации.

В этом случае (в дальней зоне) будут сформированы компоненты с равной интенсивностью, а коэффициент корреляции компонент определяется простым отношением:

. (3.95)

Уровень «интегральной деполяризации» был выбран как поляризационный параметр, характеризирующий усредненные поляризационные характеристики векторного поля. Заметим, что поле остается полностью поляризованным в каждой точке. Известно, что при выполнении условия (3.66) интегральная деполяризация непосредственно связана с коэффициентом корреляции ортогональных компонент [28]:

. (3.96)

Поэтому в нашем случае характеризует уровень поляризации при выполнении условия (3.66). Для разных уровней интегральной деполяризации были получены отношения расстояния между ближайшими компонентными вихрями и длинны корреляции – , карты разницы фаз и усредненные параметры Стокса.

На рис. 3.29 представлена зависимость дисперсии разности фаз от среднего расстояния между ближайшими компонентными вихрями .

Для наглядности разность фаз представлена с точностью до . Разности фаз, отличающиеся на , обозначены одинаковым цветом. Границы между белыми и черными цветами – -контуры; точки, в которых сходятся линии всех цветов соответствуют вихрям разности фаз; точки в центре -образных областей – седловые точки разности фаз.

a b

Рис. 3.30

Карты разности фаз между ортогональными компонентами оптического поля для 40% деполяризации для эффективных разностей фаз =0 (a) и (b).

На рис. 3.30 приведены карты разности фаз для случаев эффективной разности фаз равной 0 и . Заметим, что характер поведения разности фаз не зависит от , поскольку разности фаз в обоих случаях в любой точке отличаются на постоянную величину. Следствием этого является изменение формы, размера и положения -контуров, в то время как седловые точки, вихри разности фаз своих позиций не меняют.

Очевидно, что -контуры имеют наименьший размер (во всяком случае, для небольших уровней интегральной деполяризации), когда эффективная разность фаз равна . Действительно, при небольших уровнях интегральной деполяризации область поля, непосредственно прилегающую к компонентным нулям, можно представить как суперпозицию практически одинаковых вихревых пучков. Как было показано в п. 3.5.1, минимальный размер -контуров (сравнимый с расстоянием между центрами вихрей) наблюдается именно при разности фаз = . Добавим, что полученный в этом пункте вывод о величине области, в которой поляризационные характеристики поля меняются значительно, также остается справедливым. Размеры таких областей в векторном поле с достаточно малой интегральной деполяризацией сравнимы с утроенным расстоянием между центрами вихрей.

а b

c d

Рис. 3.31

Распределение интенсивности неоднородно поляризованного поля.

Распределение интенсивности для 5% (а), 10% (b), 30% (b), 50% (d) деполяризации поля (коэффициент корреляции ортогональных компонент 0.95, 0.9, 0.7, 0.5 соответственно).

Данные компьютерного моделирования подтверждают эти соображения. Как можно увидеть из рисунка 3.30 а, -контуры имеют маленький размер и практически все смыкаются в площади рисунка, когда равна .

Результаты компьютерного моделирования интенсивности и разности фаз ортогональных компонент векторного поля для разных коэффициентов корреляции представлены на рис. 3.31, 3.32. Преимущественной была выбрана циркулярная поляризация. В этом случае, области со значительными поляризационными изменениями будут «совпадать» с областями, ограниченными -контурами.

а b

c d

Рис. 3.32

Карты разности фаз между ортогональными компонентами.

Разность фаз между ортогональными компонентами для5% (а), 10% (b), 30% (c), 50% (d) деполяризации поля (коэффициент корреляции ортогональных компонент 0.95, 0.9, 0.7, 0.5 соответственно).

– вихри -компоненты, – вихри -компоненты.

Распределение интенсивности полей слабо отличается для разных степеней деполяризации (см. рис. 3.31). Размер -контуров и среднее расстояние между ближайшими соседними компонентными вихрями одного знака возрастают при увеличении уровня деполяризации (рис. 3.32). -контуры маленькие (относительно среднего размера спекла) замкнутые области с одним типом поляризации (правоциркулярной или левоциркулярной) при коэффициенте корреляции больше чем 0.5. Эти зоны расположены очень близко к компонентным вихрям. Размеры -контуров увеличиваются и положение областей со значительными поляризационными изменениями стают случайными для значений коэффициента корреляции меньше чем 0.5.

3.7.4. Анализ усредненных параметров при Циркулярном базисе разложения поля

Как известно, структура -, -компонент поля зависит от ориентации базиса разложения. В частности, в нашем рассмотрении, обязательным условием является такая ориентация базиса разложения, при которой интенсивности ортогональных компонент равны. С другой стороны, известно, что структура ортогональных компонент поля не зависит от ориентации базиса, если поле представлять как суперпозицию циркулярно поляризованных компонент. В этом случае разность фаз компонент напрямую связана с азимутом поляризации (3.3), а седловые точки разности фаз являются седловыми точками азимута. Поэтому проанализируем поле, как и в предыдущих параграфах, для такого базиса разложения.

Матрица когерентности, полученная при разложении поля на циркулярно поляризованные составляющие, имеет вид:

, (3.97)

где и т.д. ( – модули амплитуд циркулярно поляризованных компонент являются случайными, пространственно распределенными величинами). В данном случае локализация вихрей разности фаз совпадает с позициями -точек (см. п. 3.1).

Параметры Стокса, выраженные через элементы такой матрицы, запишутся в следующем виде:

. (3.98)

Осуществляя операции, аналогичные случаю линейного базиса, получаем следующие параметры Стокса:

, (3.99)

где , – средние интенсивности левоциркулярной и правоциркулярной компонент соответственно; – преимущественный азимут поляризации; – дисперсия азимута поляризации в его седловых точках.

Для циркулярного базиса, так же как и для линейного, справедливо неравенство:

, (3.100)

т.е. наблюдается так называемая «интегральная деполяризация». Равенство в (3.100) выполняется при для однородно поляризованного поля. Как видим из соотношения (3.99), которое аналогично (3.89; 3.90), усредненные параметры Стокса могут быть определены на основе измерения дисперсии азимута поляризации в его седловых точках. Из этого же соотношения следует, что при известных параметрах Стокса простым вычислением может быть определена дисперсия азимута поляризации в областях с преимущественной поляризацией для неоднородно поляризованного векторного поля. Заметим, что дисперсия азимута в этом случае может быть представлена как функция расстояния между ближайшими вихрями одного знака , относящимся к разным ортогональным линейно поляризованным компонентам.

3.7.5. Сравнение экспериментальных результатов и данных компьютерного моделирования

Параметры Стокса и среднее расстояние между ближайшими вихрями одного знака ортогональных компонент были получены не только в результате компьютерного моделирования, но и экспериментально определены для разных уровней деполяризации. В качестве тест-объектов были выбраны рассеивающие тонкие полимерные пленки. При этом деполяризации поля после рассеяния на них были близкими к уровням деполяризации, для которых проводилось компьютерное моделирование.

Схема экспериментального исследования представлена на рисунке 3.33. Циркулярно поляризованный пучок поступает на вход интерферометра Маха – Цандера. В одном из плечей интерферометра, в фокусе объектива 10 располагался рассеиватель (тонкая полимерная пленка). Такое экспериментальное положение обеспечивало, во-первых, анализ рассеянного поля в достаточно малом телесном угле и, во-вторых, обеспечивало формирование поля в дальней зоне с соответствующим масштабом спеклов, непосредственно после объектива. На выходе интерферометра располагался Стокс-поляриметр для измерения усредненных параметров Стокса. Циркулярно поляризованный опорный пучок и поляризатор 13 обеспечивали определение позиции и знака каждого компонентного вихря методом, описанным в [84,85]. При этом размер площадки фотоприемника удовлетворял неравенству (3.65). Таким образом, реализовывалась возможность одновременного измерения усредненных поляризационных параметров и получения сеток вихрей ортогональных компонент.

Компонентные вихри разных знаков можно идентифицировать из соответствующих интерференционных картин (см. рис. 3.34) как противоположно направленные интерференционные вилочки [8 – 10; 36 – 39]. В конечным итоге, были получены сети компонентных вихрей для разных объектов, которые вносили разный уровень деполяризации. А также были рассчитаны средние расстояния между соседними вихрями одного знака, относящихся к разным компонентам.

На рисунке 3.35 и 3.36 представлены экспериментальные результаты и результаты компьютерного моделирования векторного поля для разных степеней деполяризации поля.

Рисунки 3.37 и 3.38 позволяют сравненить данные компьютерного моделирования и результаты эксперимента. На рисунке 3.37 представлена зависимость между уровнем деполяризации и отношением усредненного расстояния между вихрями к длине корреляции. Длина корреляции поля определялась из следующего соотношения:

, (3.101)

где – плотность вихрей любой ортогональной компоненты [9; 12].

Рисунок 3.38 иллюстрирует зависимость параметров Стокса и от отношения усредненного расстояния между компонентными вихрями одного
знака к длине корреляции.

Как видно, все зависимости практически линейны и наблюдается хорошее соответствие между данными, полученными компьютерным моделированием и экспериментальными исследованиями.

Таким образом, характеристики поляризационных сингулярностей, системы особых точек (вихрей разности фаз, -точек, седловых точек разности фаз, азимута поляризации) определяют не только качественное

	Рис. 3.35 Положение вихрей (компьютерное моделирование), ассоциируемых с ортогональными компонентами для разных уровней «деполяризации» поля. Цифра в левом верхнем углу каждого рисунка соответствует уровню деполяризации.   , и, , – позиции вихрей ортогональных компонент. , – положительные вихри, , –негативные вихри.

а b

c d

Рис. 3.36 Положение вихрей (эксперимент), ассоциируемых с ортогональными компонентами для разных уровней «деполяризации» поля. Цифра в левом верхнем углу каждого рисунка соответствует уровню деполяризации.   , и, , – позиции вихрей ортогональных компонент. , – положительные вихри, , –негативные вихри.

а b

c d

поведение векторного поля в каждой его точке, но и однозначно связаны с его усредненными поляризационными характеристиками.

Дисперсия разности фаз между ортогональными компонентами, соответствующая различным уровням интегральной деполяризации векторного поля, является функцией среднего расстояния между ближайшими вихрями одного знака, относящимся к разным линейно поляризованным ортогональным компонентам. В конечном итоге, усредненные параметры Стокса, дисперсия азимута поляризации могут быть получены при измерении такого среднего расстояния.

Размеры областей, в которых существенно меняется поляризация, определяются только уровнем интегральной деполяризации. Размеры и положение -контуров для уровня деполяризации менее 50% зависят также и от эффективной разности фаз между компонентами. Размеры -контуров минимальны при преимущественной циркулярной поляризации векторного поля. Для уровня деполяризации более 50% структура поля становится аналогичной структуре полностью деполяризованного поля и не зависит от эффективной разности фаз между ортогональными компонентами.

3.8. «Стокс-формализм» поляризационных сингулярностей. «Стокс-вихри».

Как было показано, в п. 3.2.3, поляризационные сингулярности могут быть однозначно идентифицированы с помощью интерференционного метода, который является особенно эффективным в зонах поля, где его интенсивность мала. Например, в случае слабо «деполяризованных» полей, когда зоны со значительными поляризационными изменениями тяготеют к зонам нулей ортогональных компонент. В такой ситуации анализ структуры векторного поля на основе интенсивностных измерений (параметров Стокса и т.д.) становится проблематичным. Вместе с тем, для полей, степень интегральной деполяризации, которых достаточно велика (более 40 – 50%), локализация поляризационных сингулярностей не связана напрямую с зонами малой интенсивности поля, и поляризационные сингулярности могут быть идентифицированы в результате анализа локальных традиционных поляризационных параметров поля [86 – 89].

Поэтому, с нашей точки зрения, было бы полезным связать поляризационные сингулярности с поведением таких характеристик векторного поля.

Предположим, что в результате экспериментальных исследований нами получен полный набор параметров Стокса (для простоты нормированных) в каждой точке поля.

Одна из записей нормированных параметров Стокса когерентного поля имеет вид [98; 99]:

, (3.102)

При этом имеет место равенство

. (3.103)

Рассмотрим так называемые Стокс-поля , определяемые соотношениями [98]:

. (3.104)

Естественно, что такого типа поля характеризуются системой сингулярностей. Эти сингулярности будем называть Стокс-вихрями [98].

Координаты Стокс-вихрей поля , как и обычных скалярных вихрей, могут быть найдены как решения системы уравнений:

. (3.105)

Из (3.102, 3.103) следует, что в точках Стокс-вихрей только один из параметров Стокса остается ненулевым. Более того, его величина по модулю равна 1.

Так, например, для вихрей поля , а . Из этого следует, что вихри поля совпадают с -точками. Введем для описания вихрей поля дополнительный параметр , определяющий знак ненулевого параметра Стокса. Тогда вихрь поля с () соответствует -точке, локализованной в области с правой (левой) поляризацией.

Аналогично для поля , т.е. вихри поля совпадают с вихрями компонент (вихрями разности фаз), поскольку либо , либо равны нулю.

Обратимся вновь к соотношению (3.105). Решения первого и второго уравнений определяют системы некоторых замкнутых контуров. Так, из (3.102) легко видеть, что для поля первое уравнение определяет контура, вдоль которых интенсивности компонент одинаковы, а решения второго уравнения формируют систему -контуров (см. п.3.22).

Для поля решения аналогичных уравнений соответствуют системам - и -контуров. Иными словами, вихри этого поля, как и вихри разности фаз (вихри недиагональной компоненты матрицы когерентности ), находятся на их пересечении. Действительно, легко показать, что

. (3.106)

И, наконец, вихри поля () возникают на пересечении -контуров и линий, вдоль которых интенсивности компонент одинаковы. Очевидно, что вихри поля не соответствуют ни одному типу традиционных поляризационных сингулярностей и определяют координаты «реперных» точек -контура, в которых азимут линейной поляризации либо .

Естественно, что, используя «стокс-формализм», можно сформулировать различного вида знаковые принципы, касающиеся вихрей разности фаз или -точек и достаточно просто получить различного рода топологические инварианты типа (3.50).

4. Сингулярности вектора Умова – Пойнтинга и структура оптических полей

Естественным вопросом, у человека, читающего эту книгу, является вопрос: каковы резоны рассмотрения сингулярностей вектора Умова – Пойнтинга?

Попробуем ответить на этот вопрос, отталкиваясь от уже полученной информации о «традиционных» оптических сингулярностях: фазовых вихрях, поляризационных сингулярностях.

Первое, на чем необходимо акцентировать внимание это то, что в области оптической сингулярности поле «абсолютно» гладкое, без «разрывов» и удовлетворяет уравнениям Максвелла. Так, в центре фазового вихря (скалярной сингулярности) неопределенность фазы, вообще говоря, не имеет смысла, поскольку модуль амплитуды равен нулю и значение фазы может быть любым.

Аналогичные соображения можно привести и в отношении поляризационных сингулярностей -контуров и -точек. Действительно, если на некотором расстоянии от -точки поворот осей эллипсов поляризации реально характеризует отличие в поляризационных характеристиках поля, то в непосредственной близости от «сингулярности» эллипсы мало отличаются от окружностей (см. рис. 4.1) и понятия азимута, главной фазы, также как понятие фазы в центре вихря, теряют смысл. Иными словами, такие параметры как главная фаза, азимут, не нужны для описания состояния поля в -точке, а направление вращения вектора поля «лишняя» характеристика для точек -контура. К тому же временное поведение вектора поля в -точке (на -контуре) и рядом практически неразличимы. Традиционными оптическими измерениями невозможно различить точки, принадлежащие сингулярному множеству, и точки его окрестности. Такие области на рисунке 4.1 схематически изображены как регионы и .

Дата добавления: 2015-07-12