Читайте также:
|
|
Теорема 7. Степенная функция y = x a(aÎR) дифференцируема при любом x ÎR и справедлива формула:
(x a)' = a × x a-1.
Доказательство. Прологарифмируем равенство y = x a, предполагая x >0:
ln y = a× ln x
Получили уравнение от x и y, задающее функцию y = x a неявно. Найдем производные от обеих частей равенства:
Выразим отсюда y ':
Подставим в полученное равенство y = x a:
Теорема доказана.
Теорема 8. Показательная функция y = ax (a >0, a #1) дифференцируема при любом x ÎR и справедлива формула:
(ax)' = ax × ln a
Доказательство. Прологарифмируем равенство y = ax:
ln y = x ln a.
Получили уравнение от x и y, задающее функцию y = ax неявно. Найдем производные от обеих частей равенства:
Выразим отсюда y ': y ' = y × ln a.
Подставим в полученное равенство y = ax :
(ax)'= ax × ln a
Теорема доказана.
Замечание. В частном случае, при a = e полученная формула в теореме 8 принимает вид:
(ex)' = ex × ln e или (ex)' = ex.
Теорема 9. Если функции U (x) и V (x) дифференцируемы в точке x, то показательно-степенная функция y = (U (x)) V ( x ) дифференцируема в точке x и справедлива формула:
((U (x)) V (x))' = (U (x)) V (x) × V ' (x) ln U (x) + U ' (x) × V (x) ×(U (x)) V (x)-1.
Доказательство можно выполнить с помощью логарифмирования равенства y =(U (x)) V ( x ) по основанию e и дальнейшего дифференцирования обеих частей полученного равенства.
Дата добавления: 2015-07-10; просмотров: 118 | Нарушение авторских прав