Читайте также:
|
Рассмотрим график функции y = f (x) в окрестности фиксированной точки x 0 (рис.5, слайд 5 в презентации).
Рис. 5
Точка M0(x 0; y (x 0)) – фиксированная точка графика y = f (x). Точка M(x 0+D x; y (x 0+D x)) при различных значениях D x – любая точка на графике. Если точка M приближается к точке M0 (при этом D x ®0), то секущая линия M0M стремится к своему предельному положению, называемому касательной к линии y = f(x) в точке M0.
Рассмотрим D M0M A: t g aсек= 
, aсек = угол наклона секущей M0M к оси Ox.
Перейдем к пределу при D x ®0:
То есть y ' (x 0) = t g aкас => частное значение производной функции y = f (x) в точке x 0 равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к линии y = f (x) в точке M0(x 0; y (x 0)).
Тогда, используя уравнение прямой, проходящей через заданную точку M0(x 0; y 0) с известным угловым коэффициентом Kкас = y '(x 0), можно записать уравнение касательной к линии y = f (x) в точке M0(x 0; f (x 0)):
y = f (x 0) + f ' '(x 0) × (x - x 0)
Аналогично, можно записать уравнение нормали – прямой, перпендикулярной касательной и проходящей через точку касания M0(x 0; f (x 0)):
y = f (x 0) - 
,
используя условие перпендикулярности прямых: Kнорм = - 
.
Таблица производных основных элементарных функций
1) 
Вывод: 
; 
2) 
;
Вывод: 
; 
3) 
Вывод: 
; 
(используется второй замечательный предел и свойства логарифма).
4) 
Вывод: так как ln x = lo g e x, то, используя производную, для (lo ga x), можно записать: 
5) (c)' = 0
Вывод: y = c, D y = y (x +D x) - y (x) = c-c = 0 
Для остальных функций производные выводятся позже с помощью правил дифференцирования.
Таблица производных основных элементарных функций
1. (c)' =0
2. (x a) = a× x a-1
3. (ax)' = ax ×ln a, (a >0, a # 1)
4. (ex)' = ex
5. (lo gax)' = 
, (a >0; a # 1)
6. (ln x)' = 
7. (sin x)' =cos x
8. (cos x)' = - sin x
9. (t gx)' = 
10. (ct gx)' = - 
11. (a rcsin x)' = 
12. (a rccos x)' = - 
13. (a rct gx)' = 
14. (a rcct gx)' = - 
Дата добавления: 2015-07-10; просмотров: 100 | Нарушение авторских прав