Пример 2.

Решить графически задачу ЛП (1.13)-(1.15).

	(1.13)
	(1.14)
	(1.15)

Решение

Построим область допустимых решений.

Первое неравенство системы (1.14) задает полуплоскость, границей которой является прямая y ₁, определяемая равенством . Построим эту прямую на координатной плоскости x ₁ 0 x ₂ (рис.1.1), искомой полуплоскостью (она заштрихована) будет, та, которая лежит выше этой прямой.

Второе неравенство задает полуплоскость, границей которой является прямая y ₂, определяемая равенством . Также построим прямую y ₂ на координатной плоскости и заштрихуем соответствующую полуплоскость.

Аналогично построим полуплоскости, соответствующие неравенствам три и четыре, их границы y ₃ и y ₄, определяются уравнениями и соответственно.

Пересечение этих четырех плоскостей и плоскостей естественных ограничений определяют область допустимых решений D.

Рис. 1.1

Построим вектор-градиент из начала координат. Проведем линию перпендикулярно вектору . Линия F 1, проходящая через начало координат, соответствует значению 1, поскольку . Мысленно сдвинем линию уровня в направлении вектора . Первое касание многоугольника D соответствует положению F 3. Эта линия является опорной, и ей соответствует минимальное значение, которое достигается на множестве допустимых решений. Продолжим движение линии уровня до выхода из множества D. Этому положению соответствует положение F 7. Рассмотрим крайнюю точку M, которая является точкой пересечения прямых y ₃ и y ₄, ее координаты можно определить как решение линейной системы.

Решением системы является пара чисел x ₁=4 x ₂=2. Этому решению соответствует искомое максимальное значение линейной функции

.

Таким образом, F _max=7 при x ₁=4 x ₂=2.

Вывод. В данном случае линейная функция достигает своего максимального значения в вершине множества решений.

Дата добавления: 2015-09-03