О з н а ч е н н я з і р к и з і р о к

Означення 5. Візьмемо острівець Коха (нульовий крок побудови) і приєднаємо до нього шість острівців Коха, кожен з яких подібний до початкового острівця із коефіцієнтом подібності (перший крок побудови). Схематично це показано на рис. 2.18 (“пусті місця” між острівцями насправді заповнені). До утвореної фігури знову приєднуємо острівці Коха, кожен з яких подібний до попереднього острівця із коефіцієнтом подібності (наступний крок побудови) (рис. 2.19).

Рис 2.18. Рис 2.19.

Зіркою зірок називається лінія, що утвориться в результаті нескінченної кількості таких добудов, яка обмежує фігуру, складену із зліченної множини острівців Коха(рис. 2.20).

Рис 2.20.

Означення 6. Острівцем зірки зірок називається зірка зірок разом із частиною площини, яку вона обмежує.

2.5.2 В л а с т и в о с т і з і р к и з і р о к. Результати цього та наступного пунктів взято з кваліфікаційної роботи Уткіної А.С. [24].

Властивість 1. На кожному кроці побудови, починаючи з п’ятого, в зірці зірок будуть утворюватися “дірки”, які мають форму острівця Коха (рис. 2.21).

Рис. 2.21.

Властивість 2. В зірці зірок немає дірок.

Виявляється “дірки” з властивості 1 заповнюються так, що при нескінченному наростанні зірок, зовсім зникають (рис. 2.22).

Рис 2.22.

Зауваження.На кожному кроці побудови зірки зірок, всі “дірки” (і новоутворені, і ті, що утворились на попередніх кроках побудови) мають однаковий діаметр (який постійно зменшується, прямуючи до нуля).

Властивість 3. Точки зірки зірок, які найбільше віддалені від її центра, знаходяться на відстані від нього (за одиницю взято півдіаметр початкового острівця Коха).

Властивість 4. Точки зірки зірок, які найменше віддалені від її центра, знаходяться на відстані від нього (за одиницю взято півдіаметр початкового острівця Коха).

Властивість 5. Зірка зірок і сніжинка Коха не подібні між собою. Острівець зірки зірок і острівець Коха також не подібні між собою.

2.5.3. Новий клас зірок. Зробимо два кроки у побудові зірки Коха і прикладемо до неї зірочки, які менші за початкову у рази. А до них добудуємо зірочки, які менші за зірки першого кроку у рази і т. д. Отримаємо новий об’єкт (див. рис. 2.23).

Рис. 2.23.

За допомогою комп’ютера вдалося зробити сім кроків побудови. На сьомому кроці було добудовано 5.488.957 зірок. Площа побудованого об’єкту S=1,37426858. Вона співпадає з площею зірки, яка має нескінченну кількість добудов лише до третього порядку.

Дата добавления: 2015-08-21