Понятие числового ряда. Необходимый признак сходимости.

Определение. Числовой ряд (бесконечная сумма) – это пара последовательностей чисел и , таких, что .

Числовой ряд обозначают символом Здесь (n=1, 2, …) – n-ый член ряда, а сумма конечного числа n первых членов ряда называется n-ой частичной суммой ряда.

Если существует конечный предел последовательности частичных сумм ,

то этот предел называется суммой ряда, а сам ряд называется сходящимся. Если конечный предел частичных сумм не существует, то ряд называется расходящимся.

Необходимый признак сходимости ряда: если ряд сходится, то общий член ряда стремится к нулю: . Ряд может сходиться лишь в том случае, когда его общий член при n®¥ является бесконечно малой величиной.

Если необходимое условие сходимости ряда не выполнено: , либо предел не

существует, то ряд расходится (достаточный признак расходимости рядов).

Пример 1. Найти общий член ряда Доказать, что этот ряд расходится. Решение. Последовательно рассмотрим члены ряда:

Подмечая закономерность, можно видеть, что общий член ряда выражается формулой

Представим общий член ряда в виде

Ясно, что при n³4 | | > 3/25, поскольку все сомножители - дроби, кроме первых трех, больше 1.

Отсюда следует ,необходимое условие сходимости не выполнено, ряд расходится.

Дата добавления: 2015-08-21