Понятие первообразной и неопределенного интеграла.

Раздел 1. Интегральное исчисление

1)Первообразная функции и ее связь с неопределенным интегралом. Таблицы интегралов. Замена переменной в неопределенном интеграле.

2)Интегрирование по частям. Интегрирование простейших дробей.

3)Интегрирование простейших иррациональностей.

4)Интегрирование рациональностей, зависящих от простейших тригонометрических функций.

5)Интегральная сумма. Определение определенного интеграла и его геометрический смысл. Свойства определенного интеграла. Теорема о среднем. Формула Ньютона–Лейбница.

6)Площадь криволинейной трапеции и криволинейного сектора.

7)Длина дуги кривой. Объем тела вращения вокруг оси ОХ.

8)Несобственные интегралы.

9)Двойной интеграл, выражение его через повторный интеграл. Геометрический и механический смысл двойного интеграла.

10)Криволинейные интегралы. Формула Грина.

11)Приближенное вычисление интегралов.

Раздел 2. Дифференциальные уравнения

12)Понятие дифференциального уравнения (ДУ) и его порядка. Понятие общего и частного решений. ДУ с разделяющимися переменными.

13)ДУ 1-го порядка в однородных функциях. Линейные ДУ первого порядка. Уравнение Бернулли. Понижение порядка ДУ.

14)Линейные ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами.Метод вариации произвольных постоянных решения ДУ.

15)Численные методы решения ДУ.

Раздел 3. Ряды и гармонический анализ

16) Числовой ряд, его сходимость и сумма. Необходимый признак сходимости. Свойства сходящихся рядов. Геометрический и обобщенный гармонический ряды.

17) Признаки сходимости положительных рядов: сравнения, Даламбера, радикальный и интегральный признаки Коши.

18) Знакопеременные ряды, абсолютная и условная сходимость. Признак Лейбница.

19) Степенные ряды. Область сходимости.

20) Ряды Фурье.

1) Первообразная функции и ее связь с неопределенным интегралом. Таблицы интегралов. Замена переменной в неопределенном интеграле.

Понятие первообразной и неопределенного интеграла.

Функция называется первообразной функцией для функции на интервале , если дифференцируема на интервале и .

Аналогично можно определить понятие первообразной и на отрезке , но в точках и надо рассматривать односторонние производные.

Теорема. Если первообразная для функции на , то - также первообразная, где - любое постоянное число. .

Определение. Произвольная первообразная для на называется неопределенным интегралом от функции и обозначается символом

Знак называется интегралом, - подынтегральное выражение, - подынтегральная функция.

Таким образом, если одна из первообразных для , то

Операцию нахождения неопределенного интеграла называют интегрированием функции . Она противоположна операции дифференцирования.

2. Свойства неопределённых интегралов.

1. 2.

3. 4.

3. Таблица основных неопределенных интегралов.

1.

2.

3. ;

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Отметим, что операция дифференцирования элементарных функций снова приводит к элементарным функциям. Операция интегрирования уже может привести к неэлементарным функциям, т.е. функциям, которые не выражаются через конечное число арифметических операций и суперпозицией элементарных функций.

Например, доказано, что следующие интегралы не интегрируются в элементарных функциях.

- интеграл Пуассона.

- интегралы Френеля.

- интегральный логарифм.

- интегральный косинус.

- интегральный синус.

Дата добавления: 2015-08-21