Матрица линейного оператора

Пусть в линейном пространстве задан базис , а в линейном пространстве задан базис .

Определение. Матрицей линейного оператора в базисах и назовем матрицу , k -ый столбец которой представляет собой разложение вектора по векторам базиса : если , то . Матрица оператора имеет размер .

Если и – одно и то же пространство (то есть ), то матрица оператора является квадратной. Обычно в этом случае базисы и выбираются одинаковые: если , то .

Матрица , составленная по базисам и , однозначно задает действие линейного оператора: оператор переводит каждый вектор базиса в вектор , следовательно, оператор однозначно определен на каждом векторе.

Несколько следующих теорем используют идею изменения порядка суммирования в двойных суммах: . Данное равенство означает простую перегруппировку слагаемых в конечной сумме. Внутренняя сумма в двойной сумме иногда включает множители, не зависящие от индекса суммирования внутренней суммы. Тогда эти множители можно вынести за скобки, то есть вынести их из под знака внутренней суммы: . В случае, когда мы меняем порядок суммирования, из под знака внутренней суммы будут выноситься разные сомножители.

Пусть дан вектор . Согласно сформулированной выше Лемме 1 имеем . Поменяем порядок суммирования в последней двойной сумме: . С другой стороны, вектор разлагается по базису в пространстве : . Поскольку это разложение единственно, сравнивая коэффициенты при в обоих выражениях, получаем следующий результат.

Теорема 2. Коэффициенты разложения вектора в базисе вычисляются по формуле .

Если сравнить это с формулой умножения матриц, то получим следующее правило: вектор‑столбец координат вектора в базисе (имеющий высоту m)равен произведению матрицы оператора на вектор-столбец координат вектора в базисе (имеющий высоту n). Если совпадает с , а совпадает с , то вектор‑столбец координат вектора равен произведению матрицы оператора на вектор-столбец координат вектора (все в базисе ).

Дата добавления: 2015-08-09