Невырожденный оператор

Линейный оператор называется невырожденным, если его ядро состоит только из нулевого вектора, то есть размерность ядра равна нулю.

Лемма 5. Линейный оператор вырожден тогда и только тогда, когда он переводит любой базис в систему линейно зависимых векторов. То же самое можно выразить так: линейный оператор невырожден тогда и только тогда, когда он переводит любую систему линейно независимых векторов снова в систему линейно независимых векторов.

Доказательство. а) Если линейный оператор вырожден, то существует вектор , для которого . Разложим вектор по базису: . Тогда , то есть вектора линейно зависимы. б) Если , то для ненулевого вектора будет выполнено , то есть , ч.т.д.

Следствие. Если оператор невырожденный, то ранг его матрицы всегда равен n.

Следствие. Если невырожденный оператор переводит линейное пространство само в себя, то он переводит любой базис снова в базис.

Согласно лемме, любой оператор перехода от одного базиса к другому невырожденный.

Дата добавления: 2015-08-09