Линейный оператор.

Линейные операторы и их матрицы.

Пусть – базис n -мерного пространства . Координатами вектора в базисе называется набор чисел такой, что . По свойству базиса данное разложение единственно.

Координаты вектора зависят от базиса. Например, если в двумерном пространстве , , , , то из тождества следует, что координаты вектора в базисе равны , а в базисе равны .

Определение. Векторной функцией векторного аргумента (синоним: оператор) называется отображение одного линейного пространства в другое. Пространство является областью определения функции, а пространство содержит значения функции. Линейным оператором называется такой оператор , который удовлетворяет условию линейности: .

Примером линейного оператора являются ортогональная проекция точек плоскости на ось ОХ или поворот на некоторый угол вокруг начала координат. Также линейным оператором является тождественное преобразование, которое оставляет все точки линейного пространства на месте. Последнее преобразование называется тождественным или единичным оператором.

Если некоторая система векторов линейно зависима, то есть , то значения не могут быть произвольными, так как вследствие линейности оператора должно быть . Однако если система векторов линейно независима, то для каждого набора существует такой линейный оператор, что .

Лемма 1. Пусть известны значения для всех векторов базиса . Тогда для любого вектора (а разложение по базису в пространстве единственно) будет выполняться .

Дата добавления: 2015-08-09