Линейные операторы. Задания.

Задание 1. Определить, какие операторы в пространстве являются линейными (обозначения , вектора произвольные):

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ; з) .

Ответы:

а) нет, так как нулевой вектор не переходит в нулевой.

б) нет, так как при умножении вектора на минус единицу образ не умножается на минус единицу.

в) да, это линейный оператор (оператор проектирования на прямую, если ).

г) нет, так как .

д) да, это линейная комбинация линейных операторов (оператор зеркального отражения относительно плоскости (гиперплоскости), перпендикулярной вектору , если ).

е) нет, так как при умножении вектора на 2 образ .

ж) да, так как .

з) да, это оператор, линейный по .

Задание 2. В координатном пространстве с каноническим базисом заданы еще два базиса и , где , , , , , .

а) Найти матрицы перехода и от базиса к базисам и соответственно.

б) Найти матрицу перехода .

в) Обозначим через линейный оператор, заданный условиями . Найти матрицы оператора и в базисах и соответственно.

г) Вектор в базисе имеет координаты . Найти его координаты в базисе .

д) Пусть линейное многообразие задано в базисе системой уравнений . Записать эту систему в базисе .

Решение.

а) По определению матрицы перехода от одного базиса к другому

, .

б) По формуле связи матриц перехода для разных базисов , откуда .

в) Из определения матрицы перехода от базиса к базису и матрицы оператора следует, что . Для вычисления матрицы надо воспользоваться формулой

г) Если координаты вектора изображать вектор-столбцом, то по формулам связи координат в разных базисах , . Поэтому , откуда .

д) По формуле связи координат вектора в разных базисах . Подставляем это выражение в систему уравнений . Получаем . Итак, система уравнений имеет вид , где

Задание 3. Задана матрица линейного оператора в базисе . Найти его матрицу в базисе .

Решение. По формуле связи матриц оператора в разных базисах . У нас , , . Соответственно, , , . Поэтому , .

Задание 4. Привести пример матрицы линейного оператора в базисе , для которого , .

Решение. Из условий задачи вытекает, что, во-первых, , во-вторых, существуют и такие, что , . В частности, достаточно положить , . Матрица этого оператора в базисе имеет вид .

Задание 5. На плоскости задан ортогональный базис . Составить в этом базисе матрицы операторов:

а) Оператора зеркального отражения относительно оси OX.

б) Оператора зеркального отражения относительно оси OY.

в) Оператора зеркального отражения относительно прямой .

г) Оператора проектирования на ось OX.

д) Оператора проектирования на ось OY.

е) Оператора проектирования на прямую .

ж) Оператора проектирования на прямую .

Решение.

а) , , следовательно

б) , , следовательно

в) , , следовательно

г) , , следовательно

д) , , следовательно

е) Проекции векторов и на биссектрису первого координатного угла попадают в точку с координатами (½, ½), то есть , , откуда .

Другой способ. Оператор проектирования на прямую с направляющим вектором задается формулой . В нашем случае , откуда следуют вышеприведенные формулы.

ж) Проекции вершин прямоугольника со сторонами 2 и 1 на диагональ прямоугольника попадают в точку, делящую диагональ в отношении 1 к 5, то есть , , следовательно .

Другой способ. Оператор проектирования задается формулой . В нашем случае направляющий вектор прямой имеет вид , поэтому для векторов и имеем , , откуда следует тот же ответ.

Задание 6. Приведите примеры оператора, для которого не существует базиса из собственных векторов.

Пример 1. Для оператора поворота на любой угол , не кратный 180°, нет собственных значений, и, соответственно, нет собственных векторов. В самом деле, матрица оператора поворота имеет вид , значит, характеристическое уравнение имеет вид . Это уравнение при решений не имеет.

Пример 2. В трехмерном пространстве оператор поворота вокруг оси OZ имеет всего один собственный вектор с собственным значением 1 (направляющий вектор оси OZ). Это означает, что базиса из трех собственных векторов не существует.

Пример 3. Для оператора с матрицей характеристическое уравнение имеет вид , то есть – корень кратности 3. Собственными векторами являются только вектора ядра оператора. Так как ранг матрицы равен 2, то размерность ядра оператора равна 1, то есть она меньше кратности корня (собственный вектор с собственным значением 0 только один). Это означает, что базиса из трех собственных векторов не существует.

Задание 7. Матрица линейного оператора в базисе имеет вид . Существует ли базис, в котором матрица имеет вид а) ; б) ? Если есть, то найти матрицу перехода хотя бы к одному такому базису.

Решение. а) Характеристическое уравнение для матрицы имеет вид . Собственные значения равны и , они разные, откуда можно сделать вывод, что существуют два собственных вектора с этими собственными значениями. В базисе из собственных векторов матрица оператора как раз принимает вид . Осталось найти собственные вектора. Для этого надо решить системы уравнений и . ФНР обеих СЛАУ состоят из одного вектора. Решением первой СЛАУ с матрицей является вектор , решением второй СЛАУ с матрицей является вектор . Согласно определению матрицы перехода к базису она имеет вид .

б) для матрицы характеристическое уравнение имеет вид . Между тем для всех матриц одного оператора в разных базисах характеристическое уравнение должно быть одинаковым. Значит, искомого базиса не существует.

Задание 8. Найти собственные значения и собственные вектора для линейного оператора с матрицей: а) : б) . Существует ли базис из собственных векторов для данного оператора? Если есть, то написать матрицу перехода к базису из собственных векторов.

Решение. а) Характеристическое уравнение имеет вид . Имеем два собственных значения: кратности 1 и кратности 2. При матрица СЛАУ для нахождения собственного вектора принимает вид , и получаем собственный вектор . При матрица СЛАУ для нахождения собственного вектора принимает вид , и получаем еще только один собственный вектор . Итак, базиса из собственных векторов не существует.

б) Характеристическое уравнение имеет вид . Имеем три собственных значения кратности 1: , , . При матрица СЛАУ для нахождения собственного вектора принимает вид , и получаем собственный вектор . При матрица СЛАУ для нахождения собственного вектора принимает вид , и получаем собственный вектор . При матрица СЛАУ для нахождения собственного вектора принимает вид , и получаем собственный вектор . Итак, базис из собственных векторов существует. Матрица перехода к этому базису имеет вид , а матрица оператора в этом базисе диагональная: .

Задание 9. При каких значениях параметра оператор с матрицей имеет базис из собственных векторов? Построить базис для таких .

Решение. Характеристическое уравнение для оператора имеет вид . Базис из собственных векторов существует, если подпространство собственных векторов, соответствующее собственному значению 1, имеет размерность 2, а это означает, что . Следовательно, надо найти значение параметра , при котором ранг матрицы равен 1. Это условие сводится к уравнению , откуда . При этом собственные вектора являются решением СЛАУ с матрицей , откуда , . Третий вектор соответствует собственному значению 3 и является решением СЛАУ с матрицей , откуда .

Задание 10. Матрица линейного оператора имеет вид , а линейное многообразие задается уравнением . Задать многообразие в параметрическом виде. Какова его размерность?

Решение. Сначала найдем ядро оператора . Ранг матрицы равен 2, поэтому ФНР СЛАУ состоит из одного вектора. Решив СЛАУ, получим вектор . При подстановке оказывается, что этот вектор является решением однородного уравнения . Значит, его можно взять в качестве одного из двух базисных векторов направляющей плоскости для многообразия . В качестве второго вектора можно выбрать вектор (этот вектор также удовлетворяет уравнению). Частное решение уравнения имеет вид . Параметрическое представление многообразия имеет вид , где и – произвольные числа. Значит, параметрическое представление многообразия имеет вид , где , , ,
– произвольное число. Размерность многообразия равна 1.

Задание 11. Пусть вектор – собственный с собственным значением для оператора .

а) Показать, что если существует, то вектор также собственный для оператора . С каким собственным значением?

б) Существует ли собственный вектор с собственным значением у оператора ? Если есть, то найти его. Ответ обосновать.

Решение.

а) Имеем , откуда , ч.т.д.

б) Собственным вектором для оператора является вектор . В самом деле, , ч.т.д.

Задание 12. Пусть и – собственные вектора линейного оператора с неравными собственными значениями и . Какие линейные комбинации образуют собственный вектор? Какое при этом получается собственное значение ?

Решение. Составим уравнение . Так как собственные вектора с различными собственными значениями линейно независимы, то из этого уравнения вытекает, что и . Поскольку одновременно невозможны равенства и , то либо и , либо и . Соответственно или .

Задание 13. Пусть – линейный оператор проектирования на плоскость : .

а) Задать с помощью СЛАУ то двумерное инвариантное подпространство в , которое содержит вектор . Инвариантность подпространства обосновать.

б) Описать все одномерные и двумерные инвариантные подпространства в .

Решение.

а) Все вектора, принадлежащие плоскости , при проектировании переходят в себя, то есть являются собственными векторами с собственным значением 1. Вектор , перпендикулярный плоскости , переходит в 0. Инвариантное пространство, содержащее вектор , обязано содержать также вектора , , и т.д. Вектор , поэтому . Заметим, что , хотя в этой задаче нам эта формула не понадобится. Итак, инвариантное подпространство, содержащее , является линейной оболочкой . Поскольку – это ортогональная составляющая вектора , то пропорционален , откуда . СЛАУ для этого подпространства задается вектором , который является решением системы , или . Решив систему, получим . Итак, искомая СЛАУ имеет вид

б) Одномерные инвариантные подпространства всегда натянуты на собственные вектора. В нашем случае собственными векторами являются все вектора плоскости (с собственным значением 1), и вектор нормали (с собственным значением 0). Поэтому одномерными инвариантными подпространствами являются все прямые в плоскости и нормаль к плоскости .

Двумерным инвариантным подпространством является сама плоскость . Другими двумерными инвариантными подпространствами (по аналогии с задачей пункта а)) являются все плоскости, перпендикулярные к некоторому вектору . Прочих инвариантных подпространств нет, так как образ инвариантной плоскости лежит в плоскости , и либо совпадает с (тогда инвариантная плоскость равна ), либо является прямой (и тогда инвариантная плоскость перпендикулярна вектору , перпендикулярному данной прямой).

Рассматриваемый оператор имеет собственное значение 0 кратности 1 и собственное значение 1 кратности 2. Соответствующие собственные вектора ( и любые два вектора из ) образуют базис. Двумерное инвариантное подпространство является линейной оболочкой двух собственных векторов: либо оба соответствуют собственному значению 1 (это плоскость ), либо они соответствуют собственным значениям 1 и 0.

Задание 14. Пусть – линейный оператор зеркальной симметрии относительно плоскости : .

а) Задать с помощью СЛАУ то двумерное инвариантное подпространство в , которое содержит вектор . Инвариантность подпространства обосновать.

б) Описать все одномерные и двумерные инвариантные подпространства в .

Решение. Можно свести данную задачу к предыдущей, так как , . Поэтому инвариантные подпространства операторов проектирования и отражения совпадают. Возможно просто повторить все рассуждения предыдущей задачи.

Задание 15. Пусть линейный оператор задан матрицей в каноническом базисе. Описать все двумерные инвариантные подпространства в . Задать их с помощью СЛАУ

а) ; б) ; в) ; г) .

а) Характеристическое уравнение имеет вид . Существует базис из собственных векторов, соответствующих трем собственным значениям , , . Собственные вектора являются решениями однородных систем с матрицами , , соответственно, откуда , . . Одномерные инвариантные подпространства – это прямые, натянутые на собственные вектора. Двумерные инвариантные подпространства – это три плоскости , , . Других инвариантных плоскостей при наличии базиса из собственных векторов с попарно различными собственными значениями быть не может (обоснование ниже). Плоскость задается уравнением , где вектор – решение системы , откуда и система имеет вид . Аналогично две других плоскости.

Теорема. Других инвариантных плоскостей при наличии базиса из собственных векторов с попарно различными собственными значениями быть не может (обоснование ниже).

Док-во. Пусть , причем , , . Имеем , . Рассмотрим подпространство . Должно быть , то есть вектора , , должны быть линейно зависимы. Это значит, что матрица должна иметь ранг 2. Но при , , ранг данной матрицы совпадает с рангом матрицы , который равен 3. Значит, либо , либо , либо , откуда следует утверждение теоремы.

Другой способ. Двумерные инвариантные подпространства любого оператора в ортогональны одномерным инвариантным подпространствам сопряженного оператора . В каноническом базисе матрица сопряженного оператора равна транспонированной матрице исходного оператора. Характеристические уравнения исходного и сопряженного уравнения совпадают. Значит, сопряженный оператор также имеет три собственных вектора с собственными значениями 1, 2, 3. Найдем их. Для этого надо решить три однородных системы с матрицами , , соответственно, откуда , . (обратите внимание: из предыдущего решения). Инвариантные плоскости исходного оператора ортогональны собственным векторам сопряженного оператора и задаются уравнениями , , .

б) Двумерные инвариантные подпространства оператора ортогональны одномерным инвариантным подпространствам сопряженного оператора . В каноническом базисе матрица сопряженного оператора равна транспонированной матрице исходного оператора. Характеристическое уравнение для сопряженного оператора имеет вид . Это уравнение имеет единственное решение кратности 1. Значит, существует один собственный вектор с собственным значением , который является решением однородной системы с матрицей , откуда . Единственная инвариантная плоскость исходного оператора ортогональна собственному вектору сопряженного оператора и задается уравнением .

Задание 16. Пусть линейный оператор задан матрицей, содержащей параметр . Найти значение параметра , при котором у оператора есть базис из собственных векторов и для каждого найденного определить эти базисы.

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) ;

а) Характеристическое уравнение имеет вид . Базис из собственных векторов существует, если подпространство собственных векторов, соответствующее собственному значению 3, имеет размерность 2, а это означает, что . Следовательно, надо найти значение параметра , при котором ранг матрицы равен 1. Очевидно, . Собственные вектора являются решениями системы , откуда , . Третий вектор соответствует собственному значению и является решением системы с матрицей , откуда .

г) Характеристическое уравнение имеет вид . Базис из собственных векторов существует, если подпространство собственных векторов, соответствующее собственному значению p, имеет размерность 2, а это означает, что . Следовательно, надо найти значение параметра , при котором ранг матрицы равен 1. Это условие сводится к условию , откуда и . Если и , то собственные вектора являются решением системы с матрицей , откуда , . Третий вектор соответствует собственному значению и является решением системы с матрицей , откуда . Если и , то собственные вектора являются решением системы с матрицей , откуда , . Третий вектор соответствует собственному значению и является решением системы с матрицей , откуда .

Задание 17. Число является собственным значением линейного оператора (то есть существует , что ). Указать какие-нибудь собственные значения следующих операторов:

а) б) в) г) д)

Ответы.

а) Имеем . Итак, собственное значение .

б) Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы. Следовательно, характеристический многочлен транспонированной матрицы равен характеристическому многочлену исходной матрицы. Их корни одинаковы, то есть собственные значения одинаковы. Итак, собственное значение , хотя собственный вектор отличается от .

в) Имеем . Итак, собственное значение .

г) Имеем . Итак, собственное значение . И вообще, для любого многочлена будет верно .

д) Аналогично, для любого многочлена, содержащего степени и будет верно . Итак, собственное значение равно .

Задание 18. Вектор является собственным вектором линейного оператора . Для каких операторов он наверняка останется собственным вектором:

а) б) в) г) д)

Решение. Из предыдущего задания следует, что для всех матриц, кроме , вектор остается собственным вектором. Рассмотрим операторы с матрицами и . Для первого собственным вектором является , а для второго .

Задание 19. Вычислите:

а) б) в)

Решение.

а) Преобразуем матрицу к виду . Это произведение поворота на 30° по часовой стрелке и умножения на 2. Сотая степень матрицы равна повороту на угол 100∙30°, эквивалентный углу 60°, и умножению на 2¹⁰⁰. Получаем .

б) Характеристический многочлен матрицы равен . Значит, собственные значения равны , и в базисе из собственных векторов матрица оператора имеет вид . Значит, квадрат оператора равен , и такова же будет матрица в любом базисе. Проверим это: . Значит, , то есть .

в) Характеристический многочлен матрицы равен . Значит, собственные значения равны и , и в базисе из собственных векторов матрица оператора имеет вид . Матрица оператора перехода к базису из собственных векторов равна (см. задание 6а). Тогда , откуда (можно проверить: ). В итоге .

Дата добавления: 2015-08-09