Собственные вектора и собственные значения

Определение. Линейное подпространство называется инвариантным подпространством оператора , если для любого выполняется , то есть .

Определение. Вектор называется собственным вектором оператора с собственным значением , если .

Вектор является собственным тогда и только тогда, когда одномерное подпространство, являющееся линейной оболочкой вектора (прямая с направляющим вектором ), является инвариантным.

Условие эквивалентно условию , где – единичный оператор. Это означает, что собственный вектор с собственным значением принадлежит ядру оператора . Значит, мы можем утверждать

Лемма. Множество всех собственных векторов оператора , соответствующих данному собственному значению , является ядром оператора , оператор вырожден, и , где – ранг матрицы оператора в произвольном базисе.

Матрица вырождена тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю. Для квадратной матрицы порядка определитель матрицы является многочленом порядка .

Определение. Определитель матрицы называется характеристическим многочленом матрицы , а уравнение называется характеристическим уравнением матрицы .

Теорема. Характеристические многочлены матриц оператора в разных базисах не зависят от базиса.

Доказательство. Матрицы операторов в разных базисах связаны соотношением . Поскольку определитель произведения матриц равен произведению определителей, а определители прямой и обратной матрицы дают в произведении единицу, то .

Таким образом, можно приписать характеристический многочлен и характеристическое уравнение оператору.

Лемма. Число будет являться собственным значением оператора тогда и только тогда, когда оно является корнем характеристического уравнения.

Если мы знаем матрицу оператора в некотором базисе и собственное значение , то найти все собственные вектора, соответствующие данному собственному значению, можно, решив систему однородных уравнений . Размерность равна числу векторов в ФНР для этой системы.

Теорема. Любой конечный набор собственных векторов оператора с попарно различными собственными значениями линейно независим.

Доказательство. Утверждение верно для одного вектора. Пусть оно верно для вектора, и пусть даны векторов , для которых , где , и при этом существует линейная комбинация , причем . Тогда , и равна нулю разность . Итак, мы получили, что существует комбинация вектора, равная нулю, что противоречит предположению. Утверждение доказано.

Во многих случаях для конкретного оператора важно установить, существует ли для этого оператора базис из собственных векторов. Это возможно только в том случае, когда для собственного значения равно кратности корня в характеристическом уравнении.

Если у оператора есть базис из собственных векторов, то в этом базисе матрица оператора является диагональной (все коэффициенты вне главной диагонали равны нулю).

Известно, что любой многочлен с действительными коэффициентами раскладывается на линейные и квадратичные множители. Поэтому количество корней уравнения -ой степени с учетом их кратности (корень считается столько раз, какова его кратность) не превосходит .

Лемма. Если число различных корней в точности равно , то кратность каждого корня равна 1, и каждому собственному значению соответствует один собственный вектор. В этом случае оператор имеем линейно независимых собственных векторов, которые образуют базис.

В общем случае размерность не превосходит кратности корня . Базис из собственных векторов существует только тогда, когда характеристический многочлен раскладывается на линейные множители, и при этом размерность для каждого собственного значения равна кратности в характеристическом уравнении.

Определение. Пусть оператор действует в евклидовом пространстве . Назовем оператор сопряженным к оператору (обозначение ), если для любых векторов и пространства выполняется тождество .

Если оператор сопряжен к оператору , то оператор сопряжен к оператору .

Для любого оператора сопряженный оператор существует и единственный.

Лемма. Если в ортонормированном базисе (то есть в базисе, в котором , если , и ) оператор имеет матрицу , то (транспонированная матрица)

Доказательство. По определению матрицы получим . Следовательно, по определению матрицы оператора и определению транспонированной матрицы в ортонормированном базисе (и только в нем!) .

Поскольку характеристические многочлены исходной и транспонированной матрицы совпадают, собственные значения исходной и транспонированной матрицы также совпадают.

Теорема. Можно установить соответствие между инвариантными подпространствами исходного и сопряженного операторов: для каждого инвариантного подпространства оператора его ортогональное дополнение является инвариантным подпространством оператора , и наоборот.

Доказательство. Пусть подпространство инвариантно относительно оператора . Чтобы доказать инвариантность подпространства для оператора достаточно показать, что для любых векторов и выполняется равенство . Но это верно, так как согласно определению сопряженного оператора , поскольку и поэтому .

В частности, в трехмерном евклидовом пространстве инвариантные плоскости оператора ортогональны собственным векторам сопряженного оператора .

Оператор называется самосопряженным, если . Из предыдущего следует, что в ортонормированном базисе матрица оператора совпадает с транспонированной матрицей, то есть . Такая матрица называется симметрической. Основная особенность самосопряженного оператора заключается в том, что если некоторое подпространство инвариантно относительно , то и его ортогональное дополнение инвариантно относительно . В частности, ортогональное дополнение к собственному вектору инвариантно. Из этого выводится фундаментальный факт, что у самосопряженного оператора существует ортонормированный (обратите внимание!) базис из собственных векторов.

Оператор называется ортогональным, если он сохраняет скалярное произведение векторов: для любых векторов и пространства выполняется тождество . В частности, ортогональный оператор переводит ортонормированный базис в ортонормированный.

Рассмотрим матрицу ортогонального оператора в ортонормированном базисе . Поскольку -й столбец этой матрицы представляет собой набор координат вектора в этом базисе, то скалярное произведение двух разных столбцов матрицы равно нулю, а сумма квадратов элементов каждого столбца равна 1. Обратно, если матрица оператора в ортонормированном базисе удовлетворяет этим условиям, то соответствующий оператор является ортогональным.

Если перемножить подобную матрицу на транспонированную, получится единичная матрица. Значит, обратная к ортогональной матрице совпадает с транспонированной матрицей.

Ядро ортогонального оператора всегда равно нулю, то есть ортогональный оператор невырожденный. Оператор, обратный к ортогональному, существует и тоже ортогонален. Как мы видели, его матрица в ортогональном базисе транспонирована к ортогональной матрице. Значит, при транспонировании ортогональная матрица переходит в ортогональную, то есть из ортонормированности столбцов матрицы вытекает ортонормированность ее строк.

Из определения ортогонального оператора следует, что собственные значения ортогонального оператора равны ±1. В то же время оператор поворота, который является ортогональным, вовсе не имеет собственных значений и собственных векторов.

Одно из приложений теории самосопряженных операторов заключается в том, что любая квадратичная форма может быть выражена через скалярное произведение с помощью самосопряженного оператора: . Матрица оператора в ортонормированном базисе совпадает с матрицей квадратичной формы в этом базисе.

Для самосопряженного оператора можно перейти к ортонормированному базису из собственных векторов. В этом базисе матрица оператора диагональная с собственными значениями на диагонали. Следовательно, и матрица квадратичной формы диагональная. Итак, для каждой квадратичной формы есть ортонормированный базис, в котором матрица формы диагональная. Если квадратичная форма задана в ортонормированном базисе, то перейти к каноническому базису можно ортогональным оператором.

В частности, для положительно определенной квадратичной формы все собственные значения соответствующего самосопряженного оператора положительны.

Пусть U – оператор перехода от текущего базиса к каноническому базису для этой формы. Тогда матрица формы в новом базисе меняется по закону . Если оператор U – ортогональный, то , и матрица квадратичной формы меняется так же, как матрица соответствующего ей линейного самосопряженного оператора.

В любом линейном пространстве, в котором задано скалярное произведение, можно определить квадратичную форму формулой . Верно и обратное: если в каком-то линейном пространстве задана положительно определенная квадратичная форма , то с ее помощью можно определить скалярное произведение формулой , при этом . Любой ортонормированный базис при этом оказывается каноническим базисом, в котором матрица квадратичной формы единичная. Переход от одного ортонормированного базиса к другому совершается ортогональным оператором.

В указанных условиях любая другая (не обязательно положительно определенная) квадратичная форма может быть выражена через скалярное произведение формулой , где – некоторый самосопряженный оператор. Для этого оператора найдется ортонормированный базис из собственных векторов, в котором его матрица диагональная. В этом базисе квадратичная форма приводится к диагональному виду. Однако если базис ортонормированный, то и форма приводится в нем к диагональному виду (к единичной матрице). Итак, две формы, из которых одна положительно определенная, можно одновременно привести к диагональному виду.

Дата добавления: 2015-08-09