Задання лінійного оператора

Вияснимо, що значить задати лінійний оператор у скінченновимірному векторному просторі.

Задати лінійний оператор у просторі це значить задати образи всіх векторів цього простору, в тому числі образів всіх векторів кожного базису простору при дії оператора . Проте виявляється, що коли відомі образи всіх векторів одного з базисів простору при дії оператора , то тоді можна знайти образи всіх векторів простору при дії оператора , тобто справедлива така теорема.

Теорема 1. Кожний лінійний оператор у просторі однозначно визначається заданням образів усіх базисних векторів будь -якого фіксованого базису цього простору.

Доведення. Нехай у просторі зафіксовано деякий базис і будь-який вектор цього простору. Відомо, що кожен вектор простору можна єдиним способом розкласти за даним базисом, тобто

, (2)

де деякі цілком визначені числа.

Знайдемо образ вектора при дії лінійного оператора , використавши властивість 3:

. (3)

Отже, образ будь-якого вектора визначається і притому однозначно. Теорему доведено.

Виникає питання: які вектори простору можуть бути образами векторів базису при дії лінійного оператора в цьому просторі.

Відповідь на це питання дає теорема.

Теорема 2. Яка б не була упорядкована система з векторів простору

, (4)

існує єдиний лінійний оператор простору такий, що вектори системи (4) є образами векторів базису при дії цього оператора:

.

Доведення. Нехай будь-який вектор простору і

розклад цього вектора за базисом .

Поставимо у відповідність вектору вектор

.

Оскільки вектор виражається через вектори базису однозначно, то йому ставиться у відповідність тільки один вектор . Отже, задана так відповідність є однозначною, а тому є оператором у просторі . Позначимо цей оператор символом , а образ вектора при дії цього оператора позначимо символом . Таким чином, якщо

,

то

. (5)

Доведемо, що оператор лінійний.

1) Доведемо, що образ суми будь-яких двох векторів дорівнює сумі їх образів. Нехай

І

два довільно вибрані вектори простору . Тоді

тому

тобто

.

2) Доведемо, що образ добутку вектора на число дорівнює добутку образу цього вектора на це ж число.

Нехай довільне число. Тоді

.

,

тобто

.

Отже, оператор лінійний.

Покажемо, що оператор відображає вектори у вектори . Оскільки та координата вектора в базисі дорівнює 1, а всі інші його координати дорівнюють нулю, то за формулою (5)

.

Отже, заданий нами оператор задовольняє вимоги теореми 2. За теоремою 1 такий оператор існує тільки один. Теорему 2 доведено.

Матриця лінійного оператора

Нехай у векторному просторі задано лінійний оператор . Виберемо в цьому просторі який-небудь базис . Образи базисних векторів також належать простору , а тому їх можна єдиним способом розкласти за базисними векторами:

(6)

Складемо з коефіцієнтів матрицю

.

Ця матриця називається матрицею лінійного оператора в базисі .

Означення. Матрицею лінійного оператора , заданому у просторі , в даному базисі називається квадратна матриця порядку , рядки якої складені з коефіцієнтів в лінійному розкладі образів базисних векторів за базисними векторами.

Рівності (6) можна записати у вигляді матричної рівності:

. (6.1)

Отже, лінійний оператор в деякому фіксованому базисі задається квадратною матрицею.

Доведемо, що і, навпаки, кожна квадратна матриця го порядку

є матрицею певного лінійного оператора простору в базисі .

Використавши елементи матриці розглянемо вектори

а потім, згідно з теоремою 2, визначимо лінійний оператор простору , який вектори відображає у вектори . Оператор єдиний і його матрицею є, очевидно, матриця .

Отже, якщо у векторному просторі над полем вибрано базис , і потім кожному оператору простору поставимо у відповідність матрицю цього оператора в базисі , то цим буде встановлено взаємно однозначну відповідність між всіма можливими лінійними операторами простору і всіма можливими квадратними матрицями го порядку, елементи яких належать полю .

Вияснимо, як знаючи координати вектора і матрицю лінійного оператора в базисі , знайти координати образу цього вектора в цьому ж базисі.

Нехай лінійний оператор в базисі заданий матрицею і деякий вектор простору .

Знайдемо образ вектора :

.

Використовуючи рівності (6), одержимо:

Позначивши координатний рядок вектора в базисі через , і використавши єдиність розкладу вектора за одним і тим же базисом , одержимо:

або в матричному записі:

.

Отже, справедлива така теорема:

Теорема 3. Координатний рядок образу вектора в базисі дорівнює координатному рядку самого вектора , помноженому на матрицю оператора в цьому ж базисі.

Звідси видно, що лінійні оператори у векторному просторі можна описувати за допомогою матриць. Отже, матриці є тим аналітичним апаратом, за допомогою якого вивчаються лінійні оператори в скінченновимірних просторах.

Зв'язок між матрицями лінійного оператора в різних базисах

Як було сказано вище, кожен лінійний оператор простору у фіксованому базисі задається цілком визначеною матрицею. При переході до нового базису ця матриця, взагалі кажучи, буде змінюватися.

Тому виникає питання: як зв’язані між собою матриці, які задають один і той самий лінійний оператор у різних базисах?

Для вияснення цього питання, доведемо спочатку таке твердження.

Лема. Нехай

і

є квадратні матриці з елементами з поля . Якщо для будь-якого рядка з елементами з поля

, (7)

то .

Доведення. Так як будь-які числа з поля , то для кожного можна взяти: , а . А при цих значеннях , і з рівності (7) одержимо , а це означає, що матриці і рівні. Лему доведено.

Знайдемо зв’язок між матрицями лінійного оператора в різних базисах.

Нехай у просторі вибрано два базиси:

старий і новий базис,

і матриця переходу від старого до нового базису, тобто в матричному записі

(8)

Нехай лінійний оператор в старому базисі задано матрицею , а в новому базисі – матрицею , тобто

(9) (10)

Подіємо на рівність (8) лінійним оператором . Одержимо:

(11)

Підставивши у (11) рівність (9), одержимо:

(12)

Так як матриця переходу від базису до базису невироджена, то з рівності (8) виразимо старий базис через новий: (13)

Підставивши (13) у (12), дістанемо

(14)

З рівностей (10) і (14) одержимо

. (15)

Таким чином ми довели теорему:

Теорема 4. Якщо лінійний оператор векторного простору в базисі задається матрицею , то в новому базисі він задається матрицею

,

де матриця переходу від старого базису до нового базису .

З’ясуємо, що собою являє матриця переходу від базису до базису з точки зору лінійних операторів.

За теоремою 2 існує і притому тільки один лінійний оператор , що переводить вектори базису у відповідні вектори базису , тобто такий, що Рядками матриці оператора в базисі , як відомо, є координатні рядки векторів базису у цьому базисі. Однак координатні рядки векторів в базисі є рядками і матриці переходу від базису до базису .

Отже, матриця переходу є матрицею лінійного оператора , що переводить базис у базис , обчисленою в базисі . Але матриця переходу є матрицею оператора і в базисі . Справді, матрицею оператора в базисі є матриця ; матрицею переходу від базису до базису також є матриця . Тому матрицею оператора в базисі за теоремою 4 є матриця .

Подібні матриці. Нехай та матриці го порядку з елементами з поля .

Означення. Матриця називається подібною матриці , якщо існує така невироджена матриця порядку над полем , що виконується рівність

.

В цьому випадку ще кажуть, що матриця утворена трансформуванням матриці матрицею .

Теорема 5. У множині всіх матриць го порядку над полем подібність матриць є еквівалентністю, тобто має властивості рефлективності, симетричності і транзитивності.

Доведення. Для кожної матриці справедлива рівність

,

тобто матриця подібна сама собі. (рефлективність)

Якщо матриця подібна матриці , то . Звідси слідує

,

тобто матриця подібна матриці . (симетричність)

Доведемо транзитивність, тобто, якщо матриця подібна матриці , а матриця подібна матриці , то матриця подібна матриці :

Якщо і ,

то

, тобто подібна . Теорему доведено.

Оскільки подібність матриць є відношенням еквівалентності, то множину всіх квадратних матриць порядку над полем можна розбити на класи подібних матриць.

З доведеної теореми 4 випливає, що всі матриці, які задають даний лінійний оператор простору в різних базисах цього простору, подібні між собою.

Зауважимо, що коли матриця задає лінійний оператор в базисі , то й будь-яка матриця , подібна матриці ,

,

також задає оператор в деякому базисі , пов’язаному з базисом матрицею переходу .

Таким чином, всі матриці класу подібних матриць, і тільки вони, задають у різних базисах простору один і той самий лінійний оператор цього простору.

Теорема 6. Подібні матриці мають рівні детермінанти.

Доведення. Нехай матриця подібна матриці . Тоді існує така неособлива матриця , що . Використавши теорему, що детермінант добутку квадратних матриць дорівнює добутку їх детермінантів, одержимо:

Оскільки , то . Теорему доведено.

Звідси випливає, що подібні матриці або одночасно вироджені, або одночасно невироджені.

§2. Операції над лінійними операторами та їх властивості

1. Додавання лінійних операторів

Означення 1. Сумою лінійних операторів і називається такий оператор , який кожному вектору простору ставить у відповідність вектор і позначають .

Отже, означає, що

для будь-якого вектора простору .

Теорема 1. Сума лінійних операторів і є лінійний оператор.

Доведення. 1) Доведемо, що образ суми будь-яких двох векторів і дорівнює сумі їх образів:

тобто

.

2) Доведемо, що образ добутку вектора на число дорівнює добутку образу вектора на це ж число:

тобто

Теорему доведено.

Властивості додавання лінійних операторів

1) Для будь-яких лінійних операторів і

+ = + ,

тобто дія додавання комутативна.

2) Для будь-яких лінійних операторів , і

( + )+ = +( + ),

тобто дія додавання асоціативна.

3) Роль нуля при додаванні операторів виконує нульовий оператор , тобто для будь-якого лінійного оператора

+ .

4) Якщо символом ми позначимо оператор, що визначається співвідношенням для будь-якого вектора , то буде лінійним оператором, для якого виконується співвідношення

,

тобто оператор є протилежним для оператора .

Отже, для кожного лінійного оператора простору існує протилежний лінійний оператор .

Теорема 2. Матриця суми лінійних операторів у довільно вибраному базисі дорівнює сумі матриць доданків у тому ж базисі.

Доведення. Нехай в базисі лінійний оператор заданий матрицею , а лінійний оператор матрицею . Знайдемо матрицю оператора в базисі .

За означенням матриці лінійного оператора маємо

.

Шукаємо образи базисних векторів базису в результаті дії оператора :

і, отже, , тобто .

Теорему доведено.

2. Множення лінійного оператора на число

Означення 2. Добутком лінійного оператора на число називається оператор , який задається формулою

,

де будь-який вектор простору , і позначається .

Отже, при множенні оператора на число образ кожного вектора множиться на .

Теорема 3. Добуток лінійного оператора на число є лінійним оператором.

Доведення. 1) Доведемо, що образ суми будь-яких двох векторів і дорівнює сумі їх образів:

тобто

.

2) Доведемо, що образ добутку вектора на число дорівнює добутку образу вектора на це ж число:

тобто

Теорему доведено.

Властивості добутку лінійного оператора на число.

Для будь-яких лінійних операторів і векторного простору і будь-яких чисел і з поля :

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Таким чином, множина всіх лінійних операторів заданих на векторному просторі над полем утворює векторний простір над полем .

Теорема 4. Матриця добутку лінійного оператора на на число з поля у довільно вибраному базисі дорівнює добутку матриці оператора в тому ж базисі на це число.

Доведення. Нехай в базисі лінійний оператор заданий матрицею . Знайдемо матрицю оператора в базисі .

За означенням матриці лінійного оператора маємо

.

Шукаємо образи базисних векторів базису в результаті дії оператора :

і, отже, , тобто .

Теорему доведено.

3. Множення лінійних операторів

Означення 3. Добутком лінійних операторів і називається оператор , який визначається формулою

,

де будь-який вектор простору , і позначають .

Означена так дія множення операторів і полягає в послідовній дії операторів і .

Теорема 5. Добуток лінійних операторів і є лінійним оператором.

Доведення. 1) Доведемо, що образ суми будь-яких двох векторів і дорівнює сумі їх образів:

тобто

.

2) Доведемо, що образ добутку вектора на число дорівнює добутку образу вектора на це ж число:

тобто

Теорему доведено.

Властивості множення лінійних операторів

1) Для будь-яких лінійних операторів , і

,

тобто дія множення лінійних операторів асоціативна..

2) Для будь-яких лінійних операторів , і

і ,

тобто дія множення операторів зв’язана є дією множення дистрибутивними законами. (довести самостійно).

Теорема 6. Матриця добутку лінійних операторів у довільно вибраному базисі дорівнює добутку матриць співмножників у тому ж базисі.

Доведення. Нехай в базисі лінійний оператор заданий матрицею , а лінійний оператор матрицею . Знайдемо матрицю оператора в базисі .

За означенням матриці лінійного оператора маємо

або .

або .

Шукаємо образи базисних векторів базису в результаті дії оператора :

або

і, отже, , тобто .

Теорему доведено.

4. Многочлени від лінійних операторів

Нехай деякий многочлен від змінної з коефіцієнтами з поля .

Розглянемо оператор , де довільний лінійний оператор, а тотожний оператор на векторному просторі над полем . Цей оператор є лінійним оператором. Його називають значенням многочлена при , або многочленом від .

Якщо матрицею оператора в деякому базисі є матриця , то матрицею оператора в цьому ж базисі буде матриця

.

Матрицю називають многочленом від матриці .

Зауважимо, що всі правила дій з многочленами від однієї змінної залишаються справедливими і для многочленів від лінійного оператора. Тому, якщо в яку-небудь тотожність між многочленами від підставимо замість лінійний оператор , то дістанемо правильне співвідношення.

Наприклад, із тотожності одержимо

,

а з тотожності одержимо

.

Зокрема, з тотожності

випливає співвідношення

,

яке показує, що будь-які два многочлени від того самого лінійного оператора завжди комутують один з одним.

§ 3. Область значень і ядро лінійного оператора

1. Ранг і дефект лінійного оператора. Нехай деяка підмножина вимірного векторного простору і будь-який лінійний оператор цього простору. Кожний вектор оператор переводить у деякий вектор , який називається образом вектора . Сукупність образів усіх векторів з множини будемо називати образом множини відносно оператора і позначатимемо символом . Цей образ, взагалі кажучи, не міститься у множині .

Теорема 1. Образ кожного векторного підпростору простору відносно будь-якого лінійного оператора також є векторним підпростором простору .

Доведення. Якщо вектори містяться в , то в підпросторі існують такі вектори і , що і . Отже, , і тому вектор також міститься в . Крім того, яке б не було число вектор також міститься в , оскільки . Отже, є векторним підпростором простору . Теорему доведено.

Означення 1. Сукупність образів всіх векторів простору називається областю значень лінійного оператора .

Іноді область значень оператора , що є образом простору при дії оператора , для скорочення називають образом оператора і позначають символом . (Походить від французького слова “image” (образ).

З теореми 1 випливає, що область значень оператора є векторним підпростором простору .

Означення 2. Розмірність області значень називається рангом лінійного оператора і позначається Rang .

Теорема 2. Ранг будь-якого лінійного оператора простору дорівнює рангу матриці цього оператора в довільно вибраному базисі .

Доведення. Нехай довільний лінійний оператор векторного простору . Виберемо в просторі деякий базис . Нехай в цьому базисі оператор задається матрицею

.

Тоді згідно означення матриці лін

Дата добавления: 2015-08-09