Теорія чисел

1. Доведіть, що:

1.1. добуток двох натуральних чисел дорівнює добутку їх найменшого спільного кратного на найбільший спільний дільник;

1.2. найменше спільне кратне двох взаємно простих чисел дорівнює їх добутку.

2. Скількома нулями закінчується , якщо: А) ; Б) ; В) ; Г) ?

3. Розкладіть на прості множники числа: А) ; Б) ; В) ; Г) ?

4. Просте число записане тільки за допомогою одиниць. Яким числом є його сума цифр: простим чи складеним?

5. Трицифрове число дорівнює сумі . Знайдіть це число.

6. Довести властивості цілої та дробової частини числа.

6.1. , де .

6.2. , де .

6.3. , де .

6.4. , де .

6.5. , де х, у R.

6.6. Якщо | х – у | < 1, то .

6.7. Для довільних чисел х, у R [ x ] + [ y ] ≤ [ x + y ] ≤ [ x ] + [ y ] + 1. Чи можна узагальнити цей результат для більшої кількості доданків? Відповідь обгрунтуйте.

6.8. Якщо [ х ] = [ у ], то | х – у | < 1.

6.9. Якщо n N, тo i n [ х ] ≤ [ пх ] ≤ п [ х ] + n – 1.

6.10. , і .

6.11. або , де – просте непарне число.

6.12. ,де – остача від ділення цілого числа на натуральне число .

6.13. , де .

6.14. або +1.

6.15. , де – непарне натуральне число.

6.16. , де , .

6.17. А) , якщо НСД ;

В) , якщо НСД , , .

6.18. для будь-якого дійсного і .

6.19. або , .

6.20. для будь-якого дійсного .

7. Розв’яжіть рівняння:

7.1. , де ;

7.2. , де ;

7.3. , де ;

7.4. , де ;

8. Знайти суму:

… …, де n і h – натуральні числа.

9. Довести, що:

3.1. ( … ), якщо , де , , …, , ;

3.2. … , де , ;

3.3. , де .

10. Наведіть приклад такого числа , що . Чи може таке число бути раціональним?

11. Турист перебував у дорозі ціле число днів і проїжджав кожен день стільки кілометрів, скільки днів він подорожував. Якби він проїжджав щодня 20 км і зупинявся на один день через кожні 40 км, то час його подорожування збільшився б на 37 днів. Скільки днів подорожував турист?

12. Пішохід йде зі швидкістю 5 км/год, зупиняючись на відпочинок через кожні 4 км. Тривалість кожної зупинки, окрім четвертої, 10 хв, а тривалість четвертої зупинки 1 год. Яку відстань пройшов пішохід, якщо відправившись у дорогу о 4 год ранку, він прийшов на місце опівночі?

13. Майстер перед зміною видав кравцям тканину ціною по 20 доларів за 1 м. Пошиття одного костюма коштує 35 доларів. Після зміни він одержав пошитих костюмів разом з остачею тканини на 375 доларів. Яку остачу тканини одержав майстер, коли відомо, що він видав ціле число метрів тканини і що на один костюм іде 1,8 м?

14. Скільки цілих точок лежить в крузі радіусом 6,5 з центром у початку координат?

15. Доведіть, що

, де , , – сума цифр числа .

’

Зразок оформлення «сорочки» олімпіадної роботи

Робота

учасника заочного туру

ХІ обласної математичної олімпіади імені акад. М. Кравчука

учня 8 класу

комунального закладу "Луцька загальноосвітня школа І-ІІІ ступенів №25

Луцької міської ради Волинської області"

Баричука Владислава Валерійовича

11 червня 2000 року

Учитель, який підготував учня до олімпіади:

Папушой Людмила Анатоліївна, учитель математики комунального закладу "Луцька загальноосвітня школа І-ІІІ ступенів №25

Луцької міської ради Волинської області"

Зразок оформлення «сорочки» олімпіадної роботи

Робота

учасника заочного туру

ІХ обласної математичної олімпіади імені акад.. М. Кравчука

учня 6 класу

Луцької спеціалізованої школи І-ІІІ ступенів №1

Дата добавления: 2015-08-18