Алгоритм Евклида для целых чисел

Кольцо дифференциальных операторов F0[D] является ассоциативным и некоммутативным кольцом, так как.

Алгоритм Евклида для целых чисел

Пусть a и b — целые числа, не равные одновременно нулю, и последовательность чисел

определена тем, что каждое r_k — это остаток от деления предпредыдущего числа на предыдущее, а предпоследнее делится на последнее нацело, то есть

a = bq ₀ + r ₁

b = r ₁ q ₁ + r ₂

r ₁ = r ₂ q ₂ + r ₃

r_{k − 2} = r_{k − 1} q_{k − 1} + r_k

r_{n − 1} = r_nq_n

Тогда НОД(a, b), наибольший общий делитель a и b, равен r_n, последнему ненулевому члену этой последовательности.

По́лем называется множество F с двумя бинарными операциями + (аддитивная операция, или сложение) и (мультипликативная операция, или умножение), если оно (вместе с этими операциями) образует коммутативное ассоциативное кольцо c единицей , все ненулевые элементы которого обратимы.

Дифференциальное поле F₀ — это пара , состоящая из поля F и дифференцирования . Пусть k обозначает числовое поле (поле кон­стант) F. Предположим, что k имеет характеристику 0 и что оно алгебра­ически замкнуто. Производную элемента будем обозначать . При дифференцировании поле F переходит в себя, т.е. если , то и . Если , то .

Будем говорить, что L разложим на простые множители (делители) в F₀[D], если имеет место факторизация:

, , ,

где не допускают дальнейшей факторизации в F₀[D].

Пусть имеем ещё один оператор M, допускающий факторизацию:

, ,

где показатели , – целые неотрицательные числа. Если операторы коммутативны, то

.

Правой результантной матрицей R операторов () назовём матрицу, совпадающую с матрицей системы с точно­стью до транспонирования.

Таким образом, по определению, где — вектор-столбец, а — матрица вида

Отметим, что матрица может быть легко построена следующим образом: нижняя строка матрицы размером заполняет­ся нулями и в конце — коэффициентами оператора , начиная со старшего. Следующая строка получается из предыдущей по формуле (2.12) и т. д.

Левой результантной матрицей R* операторов , , назовём правую результантную матрицу операторов , формально сопряжённых к .

Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет решение.

Гладкая функция или непрерывно дифференцируемая функция — это функция, имеющая непрерывную производную на всём множестве определения.

Гладкая функция – всюду дифференцируемая функция, т.е. непрерывная и имеющая производную во всех точках определения

Дата добавления: 2015-08-09