Стереометрія

КУБ

1. Скільки різних прямих визначають усі пари вершин куба? Відповідь обґрунтуйте.

2. Скільки різних площин визначаються вершинами куба? Відповідь обґрунтуйте.

3. Скільки різних пар паралельних площин визначаються гранями куба? Відповідь обґрунтуйте.

4. Скільки різних площин, які перетинаються, проходять через одну із вершин куба, якщо кожна з цих площин містить не менше трьох вершин куба? Відповідь обґрунтуйте.

5. Скільки розгорток має куб? Намалюйте всі розгортки куба.

6. Скільки осей симетрії має куб? Відповідь обґрунтуйте. Виконайте малюнок.

7. Скільки осей обертання другого порядку має куб? Відповідь обґрунтуйте. Виконайте малюнок.

8. Скільки площин симетрії має куб? Відповідь обґрунтуйте. Виконайте малюнок.

9. Скільки самосуміщень (тобто рухів, які переводять куб сам у себе) має куб?

10. Які багатокутники можна одержати в перерізі куба площиною? Відповідь обґрунтуйте. Виконайте малюнки.

11. Які правильні багатокутники можна одержати в перерізі куба площиною? Відповідь обґрунтуйте. Виконайте малюнки.

12. Два учні грають, по черзі відзначаючи яку-небудь вершину куба. Перший гравець прагне, щоб які-небудь три послідовно відмічені вершини лежали в одній грані, а другий намагається не допустити цього. Хто із гравців виграє при правильній грі?

13. Дано куб . Чи можна з точки , рухаючись уздовж ребер, потрапити в точку , не проходячи двічі через жодну з вершин?

14. Жук повзає по ребрах куба. Чи зможе він послідовно обійти їх, проходячи по кожному ребру рівно один раз?

15. А) Доведіть, що існує трьохланкова ламана з довжиною 3а, що містить всі вершини квадрата зі стороною а. Чи можна кількість ланок і довжину цієї ламаної зменшити?

Б) Доведіть, що існує трьохланкова ламана з довжиною 7а, що містить всі вершини куба з ребром а. Чи можна кількість ланок і довжину цієї ламаної зменшити?

В) Чи може ламана складатися з ребер куба і мати п’ять ланок? Відповідь обґрунтуйте.

16. З одного шматка дроту, не розрізаючи його, потрібно виготовити каркас куба з ребром а. Якою повинна бути найменша довжина дроту? Відповідь обґрунтуйте.

17. А) Чи можна куб розбити на довільне число кубів, більше за 70? Відповідь обґрунтуйте.

Б) Чи можна куб для будь-якого натурального розрізати на кубів? Відповідь обґрунтуйте.

18. Чи можна в кубі зробити такий наскрізний отвір, щоб через нього можна було протягти куб таких же і навіть більших розмірів? Відповідь обґрунтуйте.

19. А) Чи можна поверхню куба з ребром 1 см обклеїти дванадцятьма паперовими квадратами, кожен з яких має площу 0,5 см ²?

Б)Чи можна поверхню куба з ребром 2 см обклеїти дванадцятьма паперовими квадратами, кожен з яких має площу 2 см ²? Відповідь обґрунтуйте.

В) Чи можна поверхню одиничного куба обклеїти чотирма трикутниками, кожен з яких має площу ?

20. А) Кімната має форму куба. Павук, який сидить на середині ребра, хоче, рухаючись найкоротшим шляхом, впіймати муху, що сидить у найвіддаленішій від нього вершині куба. Як повинен рухатися павук? Відповідь обґрунтуйте.

Б) Довжина ребра куба 2. У центрі однієї з граней сидить павук.Знайти довжину найкоротшого шляху павука по поверхні куба до якоїсь вершини паралельної грані.

21. А) Поверхня куба 11´11´11 розбита на клітинки 1´1. Комаха бігає по діагоналях клітинок, ніде не повертаючи назад. Вона не може бути всередині однієї клітинки більше, ніж один раз, але може декілька разів проходити через одну вершину. Чи може вона побувати в центрах 720 клітинок?

Б) Поверхня куба 15´15´15 розбита на клітинки 1´1. Комаха бігає по діагоналях клітинок, ніде не повертаючи назад. Вона не може бути всередині однієї клітинки більше, ніж один раз, але може декілька разів проходити через одну вершину. У якій найбільшій кількості центрів клітинок вона може побувати?

22. А) Чи можна всередині куба з ребром 1 розмістити два правильних тетраедри з ребром 1 (тетраедри не повинні перетинатися)?

Б) Чи можна всередині куба з ребром 1 розмістити три правильних тетраедри з ребром 1 (тетраедри не повинні перетинатися, але допускається дотик тетраедрів межами)?

Дата добавления: 2015-08-18