Точки, прямі, площини

ХІІ обласна математична олімпіада

Для математично обдарованих дітей імені акад. М.П. Кравчука

Рік

Класи (2014-2015 н.р.) Заочний тур

Розв ’ язання задач заочного туру надіслати до 15 серпня 2015 року в електронному варіанті

(e-mail: [e-mail], моб. тел. [phone])

ГЕОМЕТРІЯ

ПЛАНІМЕТРІЯ

ТОЧКИ, ПРЯМІ, ПЛОЩИНИ

1. Чи можнарозмістити на площині п’ять різних прямих так, щоб вони перетинались рівно в семи різних точках?

2. Позначте на площині п’ять точок і проведіть усі можливі прямі, кожна з яких проходить через які-небудь дві з цих точок. Як розмістити точки, щоб проведеними було: а) п’ять прямих; б) шість прямих?

3. Скільки потрібно взяти точок на площині, щоб, провівши пряму через кожні дві з них, загалом одержати дві (три, чотири) прямих? Чи будуть які-небудь зміни у розв’язку цієї задачі, якщо розглядати дані точки в просторі?

4. На скільки частин можна розбити площину чотирма прямими? Розгляньте всі можливі випадки і для кожного випадку зробіть малюнок.

5. На площині дано 6 прямих, жодні три з яких не проходять через одну точку. Чи може трапитись так, що вони мають: а) рівно 12 різних точок перетину; б) рівно 16 різних точок перетину?

6. На площині дано 5 кіл, жодні три з яких не проходять через одну точку. Чи може трапитись так, що вони мають: а) рівно 12 різних точок перетину; б) рівно 24 різних точок перетину?

7. На площині позначено n точок і проведено всі можливі прямі, кожна з яких проходить через які-небудь дві з цих точок. Виявилося, що проведно шість прямих. Чи можливо, що: а) ; б) ; в) ; г) ? Для тих випадків, коли це можливо, виконайте малюнок.

8. Як розмістити n точок () на площині, щоб жодні чотири з них не лежали на одній прямій і щоб була максимальною кількість прямих, які містять по три із даних точок? Наведіть якомога більше конкретних прикладів. Виконайте малюнки.

9. На площині розміщено n прямих. Деякі з них (не менше однієї) мають рівнj по п’ять точок перетину з проведеними прямими, а решта (не менше однієї) – рівно по сім точок перетину. Знайдіть усі значення, яких може набувати n.

10. Чи можна на площині вибрати дев’ять прямих і вісім точок так, щоб на кожній з вибраних прямих було б не менше трьох вибраних точок?

11. Яке мінімальне число кіл на площині можна вибрати так, щоб знайшлось шість точок, через кожну з яких проходило б не менше трьох кіл?

12. Яке максимальне число прямих на площині можна вибрати так, щоб знайшлось сім точок, які задовольняють умові, що на кожній прямій лежить не менше трьох з цих точок?

13. Визначте найменше можливе число прямих, які можуть розбити площину на двадцять частин.

14. На площині проведено n прямих, які проходять через одну точку. На скільки частин (областей) вони розбивають площину?

15. На площині розміщено n прямих. Як розмістити сім точок, які не лежать на цих прямих, щоб одержалось найбільше можливе число перетинів даних прямих з відрізками, які мають кінці в цих точках, якщо: а) ; б) ?

16. На площині задано шість точок, жодні три з яких не лежать на одній прямій. Проводяться всі п’ятнадцять прямих, які з’єднують попарно ці точки. Яке найбільше число точок, відмінних від даних, в яких перетинаються три з цих п’ятнадцяти прямих?

17. А) На площині проведено 100 прямих, з яких жодні дві не паралельні і жодні три не проходять через одну точку. На скільки частин розділилась площина цими прямими?

Б) На площині проведено 100 прямих. На одній з них відмічено 99 точок, на всіх інших – по дві точки так, що всього одержали 100 відмічених точок. На скільки частин розділилась площина цими прямими?

В) На площині проведено 100 прямих. На одній з них відмічено 99 точок, на всіх інших – по дві точки так, що всього одержали 100 відмічених точок. Як провести 101-у пряму, щоб число частин, на які розділилась площина ста прямими, збільшилась на 100?

18. Відоме таке твердження (спробуйте його обґрунтувати!): якщо прямих розбили площину на декілька частин, то -а пряма може додати до цих частин не більше -ої нової частини; причому додається рівно -а частина лише в тому випадку, коли -а пряма перетне кожну з цих прямих у точках, відмінних від їхніх точок перетину. Використовуючи вказане твердження, визначте, на яке найбільше число частин можуть розбити площину: а) три прямих; б) сім прямих; в) прямих?

19. Чи можна п’ятьма прямими розбити площину на 13 частин?

20. Яке максимальне число площин у просторі можна вибрати так, щоб знайшлось шість точок, які задовольняють таким умовам:

1) на кожній з вибраних площин лежить не менше чотирьох з цих точок?

2) жодні чотири з цих точок не лежать на одній прямій?

21. На площині розміщені два трикутники і дві прямі. Визначте найбільше можливе число точок перетину всіх прямих і сторін трикутників.

22. На яку найбільшу кількість різних частин, які не мають інших спільних точок, крім своїх меж можуть розбити площину: а) пряма та коло; б) три прямі; в) кут і коло; г) три кола? Відповідь обґрунтуйте.

23. На площині розміщено декілька прямих і кіл. Чи можна частини, на які вони розбивають площину пофарбувати у два кольори так, що будь-які дві частини, які мають спільну ділянку межі, будуть пофарбовані в різні кольори?

24. У бородатого багатокутника у зовнішню сторону росте щетина. Його перетинають декілька прямих, на кожній з яких з однієї сторони росте волосся. У результаті багатокутник виявився розбитим на деяке число частин. Чи може статися так, що хоча б одна частина буде зовні з волоссям. (Жодні три прямі не проходять через одну точку.)

25. Чи можна в просторі відмітити 24 точки, жодні три з яких не лежать на

одній прямій, та провести рівно 2013 різних площин так, щоб кожна містила не

менше трьох відмічених точок, і будь-яка трійка відмічених точок належала

хоча б одній з цих площин?

26. Круглий торт масою в 1 кг розрізано на частини прямолінійними розрізами. Відомо, що два з цих розрізів проходить через центр торта, а третій не проходить. Чи може маса принаймні однієї з одержаних частин становити не менше, ніж кг?

Дата добавления: 2015-08-18