Нахождение обратной матрицы

Найти матрицу А^-1 для данной матрицы А =

1 способ.

Т.к. А ∙ А^-1 = Е и А^-1 неизвестна, то обозначим ее элементы х_i, y_i, z_i, т.е.

∙ = .

Тогда по правилу умножения матриц имеем три системы уравнений с неизвестными х_i, y_i, z_i.

; ; .

Решив эти системы, найдем х₁, у₁, z₁, x₂, y₂, z₂, x₃, y₃, z₃.

Покажем решение первой системы относительно х₁, у₁, z₁.

Выразим в первом уравнении х₁ и подставим его значения в остальные уравнения:

.

Раскрыв скобки и приведя подобные, получим: .

Умножим второе уравнение на 12, а третье на 3.

.

Выразим во втором уравнении у₁ и подставим в третье: .

Решим третье уравнение относительно z₁. z₁ .

Отсюда из второго уравнения найдем у_{1 .} .

Затем из первого уравнения получим х₁: .

Таким образом первая строка матрицы А^-1 равна (9 -36 30).

Аналогично решая остальные две системы, получим матрицу

.

2 способ.

Доказано, что А^-1 = ,

где А_ij – миноры элементов а_ij матрицы А, взятые со знаком: (- 1) ^{i + j}, ∆_А – определитель матрицы А.

(Обратить внимание на то, что индексы матрицы, состоящей из миноров, соответствуют транспонированной матрице).

Например, найдем матрицу обратную матрице А = вторым способом. Найдем определитель матрицы А:

∆_А =

найдем миноры элементов матрицы А.

А₁₁ = (-1)¹⁺¹ , А₂₁ = (-1)²⁺¹ ,

А₃₁ = (-1)³⁺¹ ; А₁₂ = (-1)¹⁺² ,

А₂₂ = (-1)²⁺² , А₃₂ = (-1)³⁺² ;

А₁₃ = (-1)¹⁺³ , А₂₃ =(-1)²⁺³ ,

А₃₃ = (-1)³⁺³ .

Таким образом, матрица А^-1 = .

Дата добавления: 2015-07-24