Доказательство. По свойству -аддитивности математического ожидания

Пусть

.

По свойству -аддитивности математического ожидания

,

в частности, ряд сходится. Подберем так, чтобы

,

т.е.

для .

Положим теперь

.

Если взять ,

то

.

Предельный переход под знаком интеграла.

Сходимость почти наверное (п.н.) и по вероятности.

Определение.

,

если существует событие , , т.ч.

Определение.

,

если

.

Теорема 1

Если , то .

Доказательство.

Пусть — то событие нулевой вероятности, при котором отсутствует сходимость. Возьмем произвольное и положим

, , .

Покажем, что при всяком

.

Действительно, если , то при всяком имеем

, ,

не стремится к , .

Поскольку , то и .

По непрерывности

,

и, наконец, поскольку , то

, .

Теорема 2. Теорема Лебега об ограниченной сходимости.

Пусть

и

.

Тогда

Дата добавления: 2015-07-20