Доказательство. Теорема легко устанавливается для дискретной случайной величины

Теорема легко устанавливается для дискретной случайной величины , принимающей значения

Пусть

,

Тогда

.

Интегрируемость случайной величины обеспечивает абсолютную сходимость всех рядов и дает нам право на проведенные преобразования.

В случае произвольной интегрируемой случайной величины возьмем произвольное и подберем дискретную случайную величину , для которой . Для случайной величины имеем интегрируемость на всех множествах, равенство

и абсолютную сходимость ряда. Неравенство влечет интегрируемость и оценки

,

,

из которых получается, что

.

Поскольку выбиралось произвольно, т о

.

Абсолютная непрерывность математического ожидания

Пусть — интегрируемая случайная величина.

Тогда

(10)

Дата добавления: 2015-07-20