Доказательство.

Из существования и непрерывности функции следует, что обратная функция существует и непрерывна в окрестности точки . Следовательно

.

Тогда , то есть выполняется равенство (22.2).

Геометрический смысл производной обратной функции

Рассмотрим в окрестности точки график функции . Известно, .

Тогда если , или ,

то - угол наклона касательной к оси .

Поскольку , то

.

Пример 22.2.

Вычислить производную функции .

.

В формуле взят знак «+»

т.к. при .

Пример 22.3.

Вычислить производную функции .

.

.

В частности, при имеем .

Производная функции, заданной неявно

Если дифференцируемая функция задана уравнением , то производная этой неявной функции может быть найдена из уравнения , где рассматривается как сложная функция от переменной x.

Дата добавления: 2015-07-20