Теорема 22.2.

Производная сложной функции

Теорема 22..1.

Если функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в точке , то сложная функция имеет производную в точке и имеет место формула:

или или . (22.1)

Замечание 1. Если , то , где ,

, - дифференцируемые функции своих аргументов.

Пример 22.1.

Вычислить производную сложной функции .

,

, , тогда

.

Дифференциал сложной функции

По определению, (*).

Если , , т.е., то

.

Таким образом, равенство (*) справедливо для сложной функции, т.е. когда - зависимая переменная.

Это свойство называется

инвариантностью формы первого дифференциала.

Производная обратной функции

Теорема 22.2.

Пусть функция непрерывна и строго монотонна в некоторой окрестности точки и пусть в этой точке существует и не равна нулю производная функции ( ). Тогда обратная функция имеет производную в точке , причем: . (22.2)

Дата добавления: 2015-07-20