Доказательство. Пусть функция непрерывна на отрезке

Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда

и

(по теореме Вейерштрасса).

Таким образом: .

1) Если , то .

2) .

Следовательно, поскольку , то либо наибольшее, либо наименьшее значение достигается внутри интервала.

Т.к. функция дифференцируема,

то (т. Ферма).

Геометрический смысл.

Касательная параллельна оси внутри интервала .

Теорема 23.3 (Лагранжа).

Пусть функция определена на отрезке и

1) функция непрерывна на отрезке ;

2) функция дифференцируема на интервале .

Тогда . (23.1)

Замечание 2.

Формула (23.1) – формула Лагранжа или формула конечных приращений.

Геометрический смысл.

– угловой коэффициент секущей .

(касательная параллельна секущей).

Таких точек может быть несколько, по крайней мере, одна всегда существует.

Замечание 3.

Т.к. , то , то есть (23. )

Замечание 4.

Если , то

, (23. )

где

Формула (23. ) описывает приращение функции через произвольное приращение аргумента.

Теорема 23.4 (Коши).

Пусть функции и непрерывны на отрезке , дифференцируемы на интервале .

Тогда . (23.2)

(23.2) – формула Коши или обобщенная формула конечных приращений.

Замечание 5. Формула (23.2) верна и для .

Замечание 6. Если положить , то получим формулу Лагранжа (частный случай формулы Коши).

Дата добавления: 2015-07-20