Доказательство. Основные теоремы дифференциального исчисления

Основные теоремы дифференциального исчисления

Теорема 23.1 (Ферма).

Пусть функция определена на интервале и в некоторой точке этого интервала имеет наибольшее или наименьшее значение. Тогда, если в точке существует производная, то она равна нулю, то есть

.

Доказательство.

Пусть для определенности функция принимает наибольшее значение в точке , т.е. , .

Тогда .

Так как производная в точке существует, то

.

Геометрический смысл.

Касательная к графику параллельна оси .

Замечание 1.

Если функцию рассматривать на отрезке , то теорема не верна.

Пример 23.1.

x

Пусть задана функция .

В точке функция принимает

наименьшее значение,

в точке – наибольшее значение.

.

Теорема 23.2 (Ролля).

Пусть функция определена на отрезке и

1) функция непрерывна на отрезке ;

2) функция дифференцируема на интервале ;

3) функция .

Тогда .

Дата добавления: 2015-07-20