Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Перспектива

Читайте также:
  1. И российская перспектива.
  2. О поисках и перспективах
  3. ОТМИРАНИЕ В БУДУЩЕМ ДОМАШНЕЙ РАБОТЫ. ПЕРСПЕКТИВА РАБОЧЕГО КЛАССА
  4. ПЕРСПЕКТИВА
  5. ПЕРСПЕКТИВА И ИМПРОВИЗАЦИЯ
  6. Перспектива развития прокурорского надзора в РФ.

Определение: Центральной проекцией или перспективой прямой на прямую ' из точки S называется отображение при котором каждой точке А прямой ставится в соответствие точка А 'прямой ℓ' такая что А '= ' ∩ ().

Свойства:

1. Перспектива является взаимнооднозначным отображением в силу того, что любые две прямые имеют одну и только одну общую точку.

2. При перспективе сохраняется сложное отношение четырёх точек лежащих на одной прямой (по свойствам сложного отношения).

3. Если обозначить ℓ' = М, тогда точка М отображается сама в себя, т.е. при перспективе прямой на прямую точка пересечения этих прямых переходит сама в себя.

Доказательство. Пусть М → М′ ≠ М,

по определению М ′= ()∩ ', но М М = '∩(). □

Теорема 1. Для того, чтобы отображение прямой на прямую было перспективой необходимо и достаточно чтобы при этом отображении точка пересечения этих прямых переходила в себя.

Доказательство. Необходимость следует из свойства (3).

Достаточность: φ: 12 и М: φ(М)= М, причем М= ℓ12.

Возьмем точки А1, В1 1, найдем φ(А1)= А2 и φ(В1)= В2 2.

Таким образом φ: А1, В1, МА2, В2, М, причем это отображение единственное, но (А1В1)∩(А2В2)= S - единственная точка. Отсюда следует, что существует перспектива прямой 1 на прямую 2 из точки S.

Так как отображение единственное - это и есть перспектива. □

Теорема 2. Пусть даны две тройки точек: А1, В1, С1 1 и А2, В2, С2 2, причем в каждой тройке точки различны, тогда φ: 12, такое что φ(А1)= А2, φ(В1)= В2, φ(С1)= С2.

Доказательство. Докажем построением. Возможны два случая.

1 случай: 12.

1. Проводим прямую (А1А2) и берем на ней две произвольные точки S1 и S2 отличные от А1 и А2 .

2. В0 =(S1В1)∩(S2В2), С0 =(S1С1)∩(S2С2), А0 =(В0С0)∩(S1S2),

3. Рассмотрим отображения φ1: 1 → (В0С0) - перспектива с центром S1 и φ2: (В0С0) → 2 - перспектива с центром S2, тогда искомое проективное преобразование φ = φ2 ◦ φ1. так как φ1 и φ2 - проективные преобразования, то φ - тоже проективное преобразование.

4. М0 =(S1М1)∩(В0С0), М2 =(S2М0)∩ 2 - образ точки М 1.

 

2 случай 1 = 2.

1. Проводим произвольную прямую 3, берем произвольную т. S3 не инцидентную прямым 1 и 3.

2. А3 =(S3А1)∩ 3 ,

В3 =(S3В1)∩ 3 ,

С3 =(S3С1)∩ 3.

3. Проводим прямую (А2А3) и берем на ней две произвольные точки S1 и S2 отличные от А2 и А3 .

4. С0 =(S1С3)∩(S2С2), В0 =(S1В3)∩(S2В2), А0 =(В0С0)∩(S1S2).

5. Рассмотрим отображения:

φ3 : 13 - перспектива с центром S3

φ1: 3 → (В0С0) - перспектива с центром S1

φ2: (В0С0) → 1 = 2 - перспектива с центром S2,

тогда искомое проективное преобразование

φ = φ2 ◦ φ1 ◦ φ3.

6. М3 =(S3М1)∩ 3, М0 =(S1М3)∩(В0С0), М2 =(S2М0)∩ 1.

 

Вывод: Проективное отображение прямой на прямую задается двумя тройками различных точек.

 

Вывод: Любое проективное отображение прямой можно разложить на композицию не более трех перспектив:

1. Если 1 = 2 - три перспективы.

2. Если 12 - не более двух перспектив.

3. Если 12 и (А1А2)∩(В1В2)∩(С1С2)= S - одна перспектива с центром в точке S.

 


Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 81 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Взаимное расположение прямой и квадрики | Уравнение касательной | Полюс и поляра | Задачи на построение | Теорема Штейнера | Теорема Паскаля и ее предельные случаи | Предельные случаи теоремы Паскаля | Задачи на построение, связанные с овалом | Прямые и квадрики на расширенной евклидовой плоскости | Проективные преобразования плоскости |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Аналитическое представление проективных преобразований| Построение образов и прообразов точек.

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.008 сек.)