Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Проективные преобразования плоскости

Читайте также:
  1. III ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРИ ПОЛОВОМ СОЗРЕВАНИИ
  2. III. Преобразования при половом созревании
  3. P-электронов расположена выше и ниже плоскости колец
  4. Алгоритм аналого-цифрового преобразования радиолокационного сигнала
  5. Болгария в 1944-48гг.: социально-экономические преобразования и политическая борьба.
  6. Венгрия в 1944- 48гг.:социально-экономические преобразования и политическая борьба.
  7. вопрос: Проективная гипотеза и проективные методики, их виды

Рассмотрим Р2 и реперы R (Е123) и R ′(Е123 ′).

Определение 1: Отображение f: Р2 Р2 заданное упорядоченной парой (R, R ′) называется проективным преобразованием, если: М Р2f (М) = Р2.

Замечание: Отображение f зависит только от реперов.

Замечание: Так как координаты точек и прямых определяются одинаково, то f (М) может быть как точкой, так и прямой.

Определение: Преобразование на проективной плоскости, переводящее точку в точку, а прямую в прямую называется коллинеация.

Определение: Преобразование на проективной плоскости, переводящее точку в прямую, а прямую в точку называется корреляция.

Замечание: Корреляция рассматривалась при обосновании принципа двойственности. В дальнейшем будем рассматривать коллинеации.

Лемма 1. При проективном преобразовании репер переходит в репер.

Доказательство. Пусть дано проективное преобразование плоскости

f: М М ′ = f (М) = .

Тогда Е1 f (Е1)= = Е1, аналогично отображаются

другие точки репера: Е2 f (Е2)= = Е2, Е3 f (Е3)= = Е3 .

Свойства проективных преобразований:

1. А, В, С А′, В′, С′ ℓ′.

Доказательство. Пусть в репере R уравнение прямой (AB): и1·х1 + и2·х2 + и3·х3 =0 и координаты точки С .

Так как А′ и В′ имеют те же самые координаты, что и точки А, В, но только в репере R ′, то уравнение прямой (А′В′) будет иметь такой же вид и1·х′1 + и2·х′2 + и3·х′3 =0 в R .

Если точка С (АВ), то: и1·с1 + и2·с2 + и3·с3 =0.

Образ - С и1·с1 + и2·с2 + и3·с3 =0 в R ′, а это означает что С (АВ ′). □

Замечание: Для корреляции: А, В, С а′, b′, с′ П(S).

2. А, В, С А′, В′, С′ ℓ′.

Доказательство. От противного: А, В, С и А′, В′, С′ ℓ′. Возьмем М Р2, пусть (АВ)∩(СМ) = N.

При преобразовании А → А′, В → В′, С → С′, N → N′.

А, В, N (АВ) А′, В′, N′ (А′В′), С, М, N (СМ)

С′, М′, N′ (С′М′) (по свойству (1)).

По предположению А′,В′,С′ ℓ′ (А′В′)= ℓ′ N′ ℓ′ (С′М′)= ℓ′.

Так как точка M – произвольная, получается, что вся плоскость отображается на прямую ℓ′. А это не возможно. □

Вывод: При проективном преобразовании сохраняется отношение инцидентности.

 

3. Сохраняется сложное отношение точек лежащих на одной прямой: (АВ,СD)=(А′В′,С′D′).

Доказательство. Так координаты точек образов и прообразов одинаковы, то при вычислении сложного отношения используются одни и те же числа, то сохраняется двойственное отношение.□

Определение 2: Отображение f: Р2 Р2 заданное упорядоченной парой (R, R ′) называется проективным преобразованием, если: А, В, С, D А′, В′, С′, D′ ℓ′ и (АВ,СD)=(А′В′,С′D′).

Замечание: а, b, с, d П(S)→ а′, b′, с′, d′ П(S′) сохраняется (аb,сd)=(а′b′,с′d′).

А, В, С, D а′, b′, с′, d′ П(f ()) сохраняется (АВ,СD)=(а′b′,с′d′).

Вывод: Корреляция как проективное преобразование попадает под это определение.

 

Теорема. Определения 1 и 2 эквивалентны.

Доказательство. Самостоятельно.

Лемма 2. Пусть f1: Р2 Р2 и f2: Р2 Р2 - два проективных преобразования, причем для некоторой прямой имеем, что А,В,С и f1 (А)= f2 (А), f1 (В)= f2 (В), f1 (С)= f2 (С), тогда f1 ()= f2 ().

(Если проективные преобразования f1 и f2 совпадают по трем точкам некоторой прямой, то они совпадают на всей прямой.)

Доказательство. От противного.

Возьмем М и пусть f1 (М)≠ f2 (М).

f1 - проективное преобразование (АВ,СМ)=(f1 (А) f1 (В), f1 (С) f1 (М))=(АВМ1).

f2 - проективное преобразование (АВ,СМ)=(f2 (А) f2 (В), f2 (С) f2 (М))=(АВМ2).

(АВМ1)=(АВМ2), но в силу единственности двойного отношения следует М12 для любой точки прямой f1 ()= f2 (). □

Теорема. Пусть R (Е1 2 3 , Е) и R ′(Е1 , Е2 , Е3 , Е ′) произвольные реперы на Р2. Тогда существует единственное проективное преобразование f: Р2 Р2, которое переводит репер в репер, причем М (х1: х2: х3) Rf (М)=(х1: х2: х3) R′

Доказательство. Самостоятельно.

 


Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 96 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Квадрики на проективной плоскости | Классификация кривых второго порядка на проективной плоскости. | Взаимное расположение прямой и квадрики | Уравнение касательной | Полюс и поляра | Задачи на построение | Теорема Штейнера | Теорема Паскаля и ее предельные случаи | Предельные случаи теоремы Паскаля | Задачи на построение, связанные с овалом |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Прямые и квадрики на расширенной евклидовой плоскости| Аналитическое представление проективных преобразований

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.01 сек.)