Предельные случаи теоремы Паскаля

Рассмотрим овальную квадрику и инцидентный ей шестивершинник А₁ , А₂, А₃, А₄, А₅, А₆.

Фиксируем вершину А₁, а вершину А₂ будем перемещать по квадрике так, чтобы она приближалась к точке А₁, тогда прямая (А₁А₂) будет стремиться к предельному положению - касательной в точке А₁. Такую фигуру будем называть предельным шестивершинником, он состоит из пяти точек и шести прямых, причем одна точка будет двойная - А₁₂, а прямая (А₁А₂) – касательной.

Аналогичным образом могут совпадать вершины какие-либо другие вершины. Например: А₃ = А₄ и/или А₅ =А₆.

Замечание: Возможны случаи: А₂ = А₃, А₄ = А₅, А₆ = А₁ , но не возможно: А₂ = А₄ или А₂ = А₆, также невозможен случай А₁ = А₂ = А₃, т.е. совпадать могут только две вершины лежащие на одной стороне.

Определение: Фигура, двойственная шестивершиннику – шестисторонник а₁ а₂ а₃ а₄ а₅ а₆.

а₁∩а₂=В₁, а₂∩а₃=В₂, а₃∩а₄=В₃ , а₄∩а₅=В₄, а₅ ∩а₆=В₅, а₆ ∩а₁=В₆.

Пары вершин - В₁ и В₄, В₂ и В₅ , В₃ и В₆ называются противоположными.

Шестисторонник также как и шестивершинник состоит из шести прямых, среди которых никакие три не принадлежат одному пучку, и шести точек. Шестисторонник инцидентный квадрике будет уже не вписанным, а описанным вокруг квадрики.

Теорема двойственная теореме Паскаля носит название теорема Брианшона.

Теорема Брианшона. Для того чтобы шестисторонник касался овальной квадрики необходимо и достаточно, чтобы прямые, соединяющие противоположные вершины шестисторонника пересекались в одной точке (были инцидентны одной точке).

Замечание: Для этой теоремы тоже существует предельные случаи (рассмотреть самостоятельно.)

Дата добавления: 2015-07-26