Основы теории размерности. Основные и производные единицы измерения. Формула размерности

Многие сложные процессы и явления не имеют математических моделей или уравнений, описывающих их поведение. В этом случае теория размерности является единственным источником, позволяющим получить критерии подобия, а также информацию о связи параметров, определяющих протекание процесса или развитие явления.

Введем ряд определений.

Единицей измерения называется мера или масщтаб, с помощью которых измеряются величины физических характеристик системы.

Установлено, что на практике достаточно иметь единицы измерения для трех величин. В физических исследованиях удобно за основные единицы измерения принять единицы массы, длины и времени. В системе единиц измерения СИ за основные механические единицы измерения взяты килограмм-масса, метр и секунда.

Величины, численное значение которых зависит от принятых масштабов измерения, то есть системы единиц измерения, называются размерными. В противном случае они называются безразмерными.

Единицы измерения подразделяются на основные (первичные) и производные (вторичные). Основные единицы измерения вводятся из опыта с помощью эталонов (например, эталоны массы, длины, времени). Производные единицы измерения получаются из определения их через основные (например, единица измерения скорости выводится через единицы измерения длины и времени).

Выражение производной единицы измерения через основные единицы называется размерностью. Для обозначения размерности какой-нибудь величины А часто пользуются символом [ A ] (читается – размерность величины А). Этот символ ввел в свое время Максвелл.

Зависимость единицы измерения производной величины от единиц измерения основных величин может быть представлена в виде формулы размерности. В теории размерности существует теорема, в которой доказывается, что формулы размерности физических величин должны иметь вид степенных одночленов, представляющих единственные комбинации размерностей основных величин в различных степенях. Например, формула размерности для производного параметра В имеет вид:

, (4.123)

где M, L, T – символы единиц измерения массы, длины и времени; - положительные, отрицательные, целые и дробные числа.

Следует отметить, что в качестве основных единиц измерения может быть выбрано число единиц измерения больше трех. Например, дополнительно к единицам измерения массы, длины и времени можно выбрать единицы измерения температуры (К, в градусах Кельвина) и тепловой энергии (Q, в ккал). В этом случае формула размерности будет представлять одночлен с большим числом аргументов:

,

где K, Q – символы единиц измерения температуры и тепловой энергии.

При этом необходимо помнить, что тепловая и механическая энергия, а также температура и механическая энергия связаны между собой соответственно механическим эквивалентом теплоты (J = 4,189 кДж/ккал) и постоянной Больцмана (К _б = 1,38·10^-23 Дж/град, где , m – масса молекулы, - средняя скорость молекулы). При выбранных независимых единицах измерения K и Q эти постоянные (J и К _б) необходимо считать физическими постоянными, причислять к определяющим параметрам и включать в аргументы рассматриваемых функциональных связей.

Следует отметить, что на практике часто вместо единиц измерения массы, длины и времени выбирают параметры, от которых зависит поведение процесса или явления. Эти параметры нужно выбирать так, чтобы их размерности были независимыми друг от друга (например, размерности параметров [ A ₁], [ A ₂], [ A ₃] независимы, так как [ A ₁] = кг/с, [ A ₂] = м/с, [ A ₃] = с).

Дата добавления: 2015-07-14